Fitur segitiga sama sisi, sifat, rumus, dan luas

A segitiga sama sisi itu adalah poligon dengan tiga sisi, di mana semuanya sama; yaitu, mereka memiliki ukuran yang sama. Untuk karakteristik itu diberi nama sama sisi (sama sisi).

Segitiga adalah poligon yang dianggap paling sederhana dalam geometri, karena mereka dibentuk tiga sisi, tiga sudut dan tiga simpul. Dalam kasus segitiga sama sisi, dengan memiliki sisi yang sama, menyiratkan bahwa tiga sudutnya juga akan.

Indeks

• 1 Karakteristik segitiga sama sisi
  • 1.1 Sisi yang sama
  • 1.2 Komponen
• 2 Properti
  • 2.1 Sudut Internal
  • 2.2 Sudut Eksternal
  • 2.3 Jumlah sisi
  • 2.4 Sisi kongruen
  • 2.5 Sudut kongruen
  • 2.6. Garis-bagi, median dan mediatrix adalah kebetulan
  • 2.7 Garis bagi dan ketinggian adalah kebetulan
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bertepatan
• 3 Cara menghitung perimeter?
• 4 Cara menghitung ketinggian?
• 5 Cara menghitung sisi?
• 6 Cara menghitung area?
• 7 Latihan
  • 7.1 Latihan pertama
  • 7.2 Latihan kedua
  • 7.3 Latihan ketiga
• 8 Referensi

Karakteristik segitiga sama sisi

Sisi yang sama

Segitiga sama sisi adalah angka datar dan tertutup, terdiri dari tiga segmen garis lurus. Segitiga diklasifikasikan berdasarkan karakteristiknya, sehubungan dengan sisi dan sudutnya; sama sisi diklasifikasikan menggunakan ukuran sisi-sisinya sebagai parameter, karena ini persis sama, yaitu, mereka kongruen.

Segitiga sama sisi adalah kasus khusus dari segitiga sama kaki karena dua sisinya kongruen. Itu sebabnya semua segitiga sama sisi juga sama kaki, tetapi tidak semua segitiga sama kaki akan sama sisi.

Dengan cara ini segitiga sama sisi memiliki sifat yang sama dari segitiga sama kaki.

Segitiga sama sisi juga dapat diklasifikasikan berdasarkan amplitudo sudut internal mereka sebagai segitiga siku sama sisi, yang memiliki tiga sisi dan tiga sudut internal dengan ukuran yang sama. Sudut akan tajam, yaitu, mereka akan kurang dari 90^o.

Komponen

Segitiga pada umumnya memiliki beberapa garis dan titik yang menyusunnya. Mereka digunakan untuk menghitung luas, sisi, sudut, median, garis-bagi, tegak lurus dan tinggi.

• Median: adalah garis yang keluar dari titik tengah satu sisi dan mencapai titik berlawanan. Tiga median sepakat pada titik yang disebut centroid atau centroid.
• Sang uskup: adalah sinar yang membagi sudut simpul menjadi dua sudut dengan ukuran yang sama, itulah sebabnya ia dikenal sebagai sumbu simetri. Segitiga sama sisi memiliki tiga sumbu simetri.

Dalam segitiga sama sisi, garis bagi ditarik dari titik sudut ke sisi yang berlawanan, memotongnya di titik tengahnya. Setuju ini disebut incentro.

• Mediatrix: adalah segmen tegak lurus ke sisi segitiga yang berasal di tengah ini. Ada tiga mediasi dalam segitiga dan mereka sepakat di titik yang disebut circuncentro.
• Tingginya: adalah garis yang bergerak dari titik ke sisi yang berlawanan dan juga garis ini tegak lurus ke sisi itu. Semua segitiga memiliki tiga ketinggian yang bertepatan pada titik yang disebut orthocenter.

Properti

Properti utama dari segitiga sama sisi adalah bahwa mereka akan selalu menjadi segitiga sama kaki, karena sama kaki dibentuk oleh dua sisi kongruen dan yang sama sisi dengan tiga.

Dengan cara itu, segitiga sama sisi mewarisi semua properti dari segitiga sama kaki:

Angles internal

Jumlah sudut internal selalu sama dengan 180^o, dan karena semua sudutnya kongruen, maka masing-masing sudutnya akan berukuran 60^o.

Sudut Eksternal

Jumlah sudut eksternal akan selalu sama dengan 360^o, oleh karena itu setiap sudut eksternal akan mengukur 120^o. Ini karena sudut internal dan eksternal adalah pelengkap, yaitu, menambahkannya akan selalu sama dengan 180^o.

Jumlah sisi

Jumlah dari ukuran dua sisi harus selalu lebih besar dari ukuran sisi ketiga, yaitu, a + b> c, di mana a, b dan c adalah pengukuran dari masing-masing sisi.

Sisi kongruen

Segitiga sama sisi memiliki tiga sisi dengan ukuran atau panjang yang sama; artinya mereka kongruen. Oleh karena itu, pada item sebelumnya kita memiliki a = b = c.

Sudut kongruen

Segitiga sama sisi juga dikenal sebagai segitiga sama sisi, karena tiga sudut internal mereka saling kongruen. Ini karena semua sisinya juga memiliki ukuran yang sama.

Bisector, median, dan mediatrix adalah kebetulan

Garis bagi membagi sisi segitiga menjadi dua bagian. Dalam segitiga sama sisi yang sisi akan dibagi menjadi dua bagian yang sama persis, yaitu, segitiga akan dibagi menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen.

Jadi, garis bagi yang diambil dari sudut mana saja dari segitiga sama sisi bertepatan dengan median dan garis bagi sisi yang berlawanan dari sudut itu.

Contoh:

Gambar berikut menunjukkan segitiga ABC dengan titik tengah D yang membagi salah satu sisinya menjadi dua segmen AD dan BD.

Ketika Anda menggambar garis dari titik D ke titik yang berlawanan, menurut definisi Anda mendapatkan CD median, yang relatif terhadap titik C dan sisi AB.

Karena segmen CD membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga sama dengan CDB dan CDA, itu berarti bahwa kita akan memiliki kasus kongruensi: sisi, sudut, sisi dan oleh karena itu CD juga akan menjadi pengumpul BCD.

Saat menggambar segmen CD, bagi sudut sudut menjadi dua sudut yang sama dengan 30^o, sudut titik A terus mengukur 60^o dan CD lurus membentuk sudut 90^o sehubungan dengan titik tengah D.

Segmen CD membentuk sudut yang memiliki pengukuran yang sama untuk segitiga ADC dan BDC, yaitu, mereka saling melengkapi sedemikian rupa sehingga pengukuran masing-masing akan:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^o

2 _* Med. (ADC) = 180^o

Med. (ADC) = 180^o ÷ 2

Med. (ADC) = 90^o.

Jadi, Anda memiliki bahwa segmen CD juga merupakan garis bagi sisi AB.

Garis-bagi dan ketinggian adalah kebetulan

Ketika Anda menggambar garis-bagi dari titik sudut ke titik tengah sisi yang berlawanan, itu membagi segitiga sama sisi menjadi dua segitiga kongruen.

Sedemikian rupa sehingga terbentuk sudut 90^o (lurus). Ini menunjukkan bahwa segmen garis ini benar-benar tegak lurus ke sisi itu, dan menurut definisi garis itu akan menjadi tinggi.

Dengan cara ini, garis bagi dari setiap sudut segitiga sama sisi bertepatan dengan ketinggian relatif pada sisi yang berlawanan dari sudut itu.

Orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter bersamaan

Karena tinggi, median, garis-bagi, dan garis-bawah diwakili pada saat yang sama oleh segmen yang sama, dalam segitiga sama sisi, titik-titik pertemuan dari segmen-segmen ini - orthocenter, barycenter, incenter dan circumcenter-, akan berada di titik yang sama

Cara menghitung perimeter?

Perimeter poligon dihitung dengan jumlah sisi. Karena dalam kasus ini segitiga sama sisi memiliki semua sisinya dengan ukuran yang sama, perimeternya dihitung dengan rumus berikut:

P = 3 _* sisi.

Cara menghitung ketinggian?

Karena ketinggian adalah garis yang tegak lurus terhadap alas, ia membaginya menjadi dua bagian yang sama dengan memperluas ke verteks yang berlawanan. Dengan demikian dua segitiga siku-siku sama terbentuk.

Ketinggian (h) mewakili sisi yang berlawanan (a), setengah dari sisi AC ke sisi yang berdekatan (b) dan sisi BC mewakili sisi miring (c).

Menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat menentukan nilai ketinggian:

a² + b²= c²

Dimana:

a² = tinggi (h).

b² = sisi b / 2.

c² = sisi a.

Mengganti nilai-nilai ini dalam teorema Pythagoras, dan membersihkan ketinggian yang kita miliki:

h² + ( aku / 2)² = l²

h² +  l²/ 4 = l²

h² = l²  -  l²/ 4

h² = (4_*l² -  l²) / 4

h² =  3_*l²/4

√h² = √ (3_*l²/4)

Jika sudut yang dibentuk oleh sisi kongruen diketahui, tinggi (diwakili oleh kaki) dapat dihitung dengan menerapkan rasio trigonometri.

Kaki-kaki disebut berlawanan atau berdekatan tergantung pada sudut yang diambil sebagai referensi.

Sebagai contoh, pada gambar sebelumnya, cathetus h akan berseberangan dengan sudut C, tetapi berdekatan dengan sudut B:

Dengan demikian, ketinggian dapat dihitung dengan:

Cara menghitung sisi?

Ada beberapa kasus di mana pengukuran sisi-sisi segitiga tidak diketahui, tetapi tingginya dan sudut-sudut yang terbentuk pada simpul.

Untuk menentukan area dalam kasus ini perlu untuk menerapkan rasio trigonometri.

Mengetahui sudut salah satu simpulnya, kaki diidentifikasi dan rasio trigonometri yang sesuai digunakan:

Dengan demikian, kaki AB, akan berseberangan dengan sudut C, tetapi berbatasan dengan sudut A. Tergantung pada sisi atau kaki yang sesuai dengan tinggi, sisi lain dibersihkan untuk mendapatkan nilai ini, mengetahui bahwa dalam segitiga sama sisi tiga sisi akan selalu memiliki ukuran yang sama.

Cara menghitung luas?

Luas segitiga selalu dihitung dengan rumus yang sama, mengalikan alas dengan tinggi dan membaginya dengan dua:

Area = (b _* h) ÷ 2

Mengetahui bahwa ketinggian diberikan oleh rumus:

Latihan

Latihan pertama

Sisi-sisi segitiga sama sisi ABC ukuran masing-masing 20 cm. Hitung tinggi dan luas poligon itu.

Solusi

Untuk menentukan luas segitiga sama sisi itu perlu untuk menghitung tinggi, mengetahui bahwa ketika menggambar itu, itu membagi segitiga menjadi dua segitiga sama kanan.

Dengan cara itu teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menemukannya:

a² + b²= c²

Dimana:

a = 20/2 = 10 cm.

b = tinggi.

c = 20 cm.

Data dalam teorema diganti:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400 - 100) cm

b² = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Artinya, ketinggian segitiga sama dengan 17,32 cm. Sekarang dimungkinkan untuk menghitung luas segitiga yang diberikan dengan mengganti dalam rumus:

Area = (b _* h) ÷ 2

Luas = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

Luas = 346,40 cm² ÷ 2

Luas = 173,20 cm².

Cara lain yang lebih sederhana untuk menyelesaikan latihan adalah dengan mengganti data dalam rumus langsung area tersebut, di mana nilai ketinggiannya juga secara implisit:

Latihan kedua

Di tanah yang memiliki bentuk segitiga sama sisi, bunga akan ditanam. Jika perimeter tanah itu sama dengan 450 m, hitung jumlah meter persegi yang ditempati oleh bunga-bunga.

Solusi

Mengetahui bahwa perimeter segitiga sesuai dengan jumlah ketiga sisinya dan karena medan memiliki bentuk segitiga sama sisi, ketiga sisi segitiga ini akan memiliki ukuran atau panjang yang sama:

P = sisi + sisi + sisi = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Sekarang hanya perlu menghitung tinggi segitiga itu.

Ketinggian membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen, di mana salah satu kakinya mewakili tinggi dan separuh lainnya dari alas. Dengan teorema Pythagoras, ketinggian dapat ditentukan:

a² + b²= c²

Dimana:

a = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = tinggi

Data dalam teorema diganti:

(75 m)²+ b² = (150 m)²

5,625 m + b² = 22.500 m

b² = 22.500 m - 5.625 m

b² = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Jadi area yang akan menempati bunga adalah:

Area = b * h ÷ 2

Luas = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Luas = (19.485 m²) ÷ 2

Luas = 9.742,5 m²

Latihan ketiga

Segitiga sama sisi ABC dibagi dengan segmen garis yang bergerak dari verteks C ke titik tengah D, yang terletak di sisi yang berlawanan (AB). Segmen ini berukuran 62 meter. Hitung luas dan keliling segitiga sama sisi itu.

Solusi

Mengetahui bahwa segitiga sama sisi dibagi oleh segmen garis yang sesuai dengan tinggi, sehingga membentuk dua segitiga siku-siku yang kongruen, ini pada gilirannya juga membagi sudut vertex C menjadi dua sudut dengan ukuran yang sama, 30^o masing-masing.

Ketinggian membentuk sudut 90^o sehubungan dengan segmen AB, dan sudut simpul A kemudian akan mengukur 60^o.

Kemudian gunakan sebagai referensi sudut 30^o, tinggi CD ditetapkan sebagai kaki yang berdekatan dengan sudut dan BC sebagai sisi miring.

Dari data ini nilai dari salah satu sisi segitiga dapat ditentukan, menggunakan rasio trigonometri:

Seperti dalam segitiga sama sisi semua sisi memiliki ukuran atau panjang yang sama persis, itu berarti bahwa setiap sisi segitiga sama sisi ABC sama dengan 71,6 meter. Mengetahui hal itu, adalah mungkin untuk menentukan area Anda:

Area = b * h ÷ 2

Luas = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Luas = 4.438,6 m² ÷ 2

Luas = 2.219,3 m²

Perimeter diberikan oleh jumlah dari ketiga sisinya:

P = sisi + sisi + sisi = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Referensi

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Gambar Teknis: notebook kegiatan.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
3. Baldor, A. (1941). Aljabar Havana: Budaya.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Geometri Euclidean Rata. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Geometri Pendekatan Transformasi. AS: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, R. P. (1886). Elemen Geometri Euclid.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri dan Trigonometri.
8. León Fernández, G. S. (2007). Geometri Terintegrasi Institut Teknologi Metropolitan.
9. Sullivan, J. (2006). Aljabar dan trigonometri Pendidikan Pearson.