Teorema Moivre Tentang Apa Yang Terdiri, Demonstrasi, dan Latihan yang Diselesaikan

itu Teorema Moivre menerapkan proses dasar aljabar, seperti kekuatan dan ekstraksi akar dalam bilangan kompleks. Teorema ini diucapkan oleh ahli matematika Prancis terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan bilangan kompleks dengan trigonometri.

Abraham Moivre membuat asosiasi ini melalui ekspresi payudara dan kosinus. Matematikawan ini menghasilkan semacam rumus yang memungkinkan untuk menaikkan bilangan kompleks z menjadi n, yang merupakan bilangan bulat positif lebih besar dari atau sama dengan 1.

Indeks

• 1 Apa teorema Moivre??
• 2 Demonstrasi
  • 2.1 Basis induktif
  • 2.2 Hipotesis induktif
  • 2.3 Memeriksa
  • 2.4 Bilangan bulat negatif
• 3 Latihan dipecahkan
  • 3.1 Perhitungan kekuatan positif
  • 3.2 Perhitungan kekuatan negatif
• 4 Referensi

Apa teorema Moivre??

Teorema Moivre menyatakan sebagai berikut:

Jika Anda memiliki bilangan kompleks dalam bentuk kutub z = r_Ɵ, di mana r adalah modul bilangan kompleks z, dan sudut Ɵ disebut amplitudo atau argumen dari bilangan kompleks apa pun dengan 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, untuk menghitung kekuatan nnya, tidak perlu melipatgandakannya dengan sendirinya n kali; artinya, tidak perlu membuat produk berikut:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_Ɵ   n-kali.

Sebaliknya, teorema mengatakan bahwa ketika menulis z dalam bentuk trigonometriknya, untuk menghitung kekuatan n, kita melanjutkan sebagai berikut:

Jika z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) lalu zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Misalnya, jika n = 2, maka z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jika Anda memiliki itu n = 3, maka z³ = z² _* z. Selain itu:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Dengan cara ini, rasio trigonometrik dari sinus dan kosinus dapat diperoleh untuk kelipatan sudut, selama rasio trigonometri sudut diketahui..

Dengan cara yang sama dapat digunakan untuk menemukan ekspresi yang lebih tepat dan kurang membingungkan untuk akar ke-n dari bilangan kompleks z, sehingga zⁿ = 1.

Untuk menunjukkan teorema Moivre, prinsip induksi matematika digunakan: jika bilangan bulat "a" memiliki properti "P", dan jika untuk bilangan integer "n" lebih besar dari "a" yang memiliki properti "P" itu adalah memenuhi bahwa n +1 juga memiliki properti "P", maka semua bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan "a" memiliki properti "P".

Demonstrasi

Dengan cara ini, pembuktian teorema dilakukan dengan langkah-langkah berikut:

Basis induktif

Pemeriksaan pertama untuk n = 1.

Seperti z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], kita dapatkan bahwa untuk n = 1 teorema terpenuhi.

Hipotesis induktif

Diasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk beberapa bilangan bulat positif, yaitu, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Memeriksa

Itu terbukti benar untuk n = k + 1.

Seperti z^{k + 1}= z^k _* z, lalu z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Kemudian ekspresi berlipat ganda:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(saya_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(saya_* senƟ)).

Untuk sesaat faktor r diabaikan^{k + 1},  dan faktor umum saya dihapus:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Bagaimana saya² = -1, kami menggantinya dalam ekspresi dan kami mendapatkan:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Sekarang bagian nyata dan imajiner dipesan:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Untuk menyederhanakan ekspresi, identitas trigonometri dari jumlah sudut untuk cosinus dan sinus diterapkan, yaitu:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = dosa A _* cos B - cos A _* cos B.

Dalam hal ini, variabelnya adalah sudut Ɵ dan kƟ. Menerapkan identitas trigonometri, kami memiliki:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Dengan cara ini, ekspresi tetap:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa hasilnya benar untuk n = k + 1. Dengan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa hasilnya benar untuk semua bilangan bulat positif; yaitu, n ≥ 1.

Bilangan bulat negatif

Teorema Moivre juga diterapkan ketika n ≤ 0. Pertimbangkan bilangan bulat negatif "n"; maka "n" dapat ditulis sebagai "-m", yaitu, n = -m, di mana "m" adalah bilangan bulat positif. Oleh karena itu:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Untuk mendapatkan eksponen "m" dengan cara yang positif, ungkapan ditulis terbalik:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Sekarang, digunakan bahwa jika z = a + b * i adalah bilangan kompleks, maka 1 ÷ z = a-b * i. Oleh karena itu:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Menggunakan cos (x) = cos (-x) dan itu -sen (x) = sin (-x), kita harus:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Dengan cara itu, kita dapat mengatakan bahwa teorema berlaku untuk semua nilai integer "n".

Latihan yang diselesaikan

Perhitungan kekuatan positif

Salah satu operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk kutubnya adalah perkalian antara keduanya; dalam hal itu modul-modul dikalikan dan argumen ditambahkan.

Jika Anda memiliki dua bilangan kompleks z₁ dan z₂ dan Anda ingin menghitung (z₁* z₂)², Kemudian kami melanjutkan sebagai berikut:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + saya _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + saya _* sen Ɵ₂)]

Properti distributif diterapkan:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + saya _* cos Ɵ_{1 *} saya _* sen Ɵ₂ + saya _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + saya²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Mereka dikelompokkan, menggunakan istilah "i" sebagai faktor ekspresi yang umum:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Bagaimana saya² = -1, diganti dalam ekspresi:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Istilah nyata dikelompokkan ulang dengan nyata, dan imajiner dengan imajiner:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Akhirnya, sifat trigonometri diterapkan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Kesimpulannya:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Latihan 1

Tuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, menggunakan teorema Moivre, hitung z⁴.

Solusi

Bilangan kompleks z = -2 -2i diekspresikan dalam bentuk persegi panjang z = a + bi, di mana:

a = -2.

b = -2.

Mengetahui bahwa bentuk kutub adalah z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), Anda perlu menentukan nilai modul "r" dan nilai argumen "Ɵ". Sebagai r = √ (a² + b²), nilai yang diberikan diganti:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Kemudian, untuk menentukan nilai "Ɵ", bentuk persegi ini diterapkan, yang diberikan oleh rumus:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Sebagai tan (Ɵ) = 1 dan Anda harus<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Karena nilai "r" dan "Ɵ" sudah diperoleh, bilangan kompleks z = -2 -2i dapat diekspresikan dalam bentuk kutub dengan mensubstitusi nilai:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Sekarang teorema Moivre digunakan untuk menghitung z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Latihan 2

Temukan produk bilangan kompleks dengan mengungkapkannya dalam bentuk kutubnya:

z1 = 4 (cos 50^o + saya_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100)^o + saya_* 100 sen^o).

Kemudian, hitung (z1 * z2) ².

Solusi

Pertama produk dari angka yang diberikan terbentuk:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + saya_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + saya_* 100 sen^o)]

Kemudian, gandakan modul-modulnya menjadi satu, dan tambahkan argumen:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50)^o + 100^o) + i_* sen (50)^o + 100^o)]

Ekspresi disederhanakan:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150)^o + (saya_* 150 sen^o).

Akhirnya, teorema Moivre diterapkan:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150)^o + (saya_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (saya_* 300 sen^o)).

Perhitungan kekuatan negatif

Untuk membagi dua bilangan kompleks z₁ dan z₂ dalam bentuk kutubnya, modul dibagi dan argumen dikurangi. Jadi, hasil bagi adalah z₁ ÷ z₂ dan itu diungkapkan sebagai berikut:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Seperti pada kasus sebelumnya, jika Anda ingin menghitung (z1 ÷ z2) ³ pertama-tama pembagian dibuat dan kemudian teorema Moivre digunakan.

Latihan 3

Diberikan:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

menghitung (z1 ÷ z2) ³.

Solusi

Mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referensi

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
2. Croucher, M. (s.f.) Dari Teorema Moivre untuk Identitas Trig. Proyek Demonstrasi Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Ensiklopedia Matematika.
4. Max Peters, W. L. (1972). Aljabar dan Trigonometri.
5. Pérez, C. D. (2010). Pendidikan Pearson.
6. Stanley, G. (s.f.). Aljabar linier Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pendidikan Pearson.