Bagikan:
Teorema Thales of Miletus Pertama, Kedua dan Contoh
Yang pertama dan yang kedua Teorema Thales of Miletus mereka didasarkan pada penentuan segitiga dari yang serupa lainnya (teorema pertama) atau keliling (teorema kedua). Mereka sangat berguna di berbagai bidang. Sebagai contoh, teorema pertama terbukti sangat berguna untuk mengukur struktur besar ketika tidak ada alat ukur yang canggih.
Thales of Miletus adalah ahli matematika Yunani yang memberikan kontribusi besar untuk geometri, yang menonjol dari kedua teorema ini (dalam beberapa teks mereka juga menuliskannya sebagai Thales) dan aplikasi berguna mereka. Hasil ini telah digunakan sepanjang sejarah dan memungkinkan pemecahan berbagai masalah geometrik.
Indeks
- 1 Teorema Tales Pertama
- 1.1 Aplikasi
- 1.2 Contoh
- 2 teorema kedua Tales
- 2.1 Aplikasi
- 2.2 Contoh
- 3 Referensi
Teorema pertama dari Tales
Teorema pertama Tales adalah alat yang sangat berguna yang, antara lain, memungkinkan untuk membangun segitiga yang mirip dengan yang lain, yang sebelumnya dikenal. Dari sini diturunkan berbagai versi teorema yang dapat diterapkan dalam berbagai konteks.
Sebelum memberikan pernyataan Anda, ingatlah beberapa gagasan tentang kesamaan segitiga. Pada dasarnya, dua segitiga serupa jika sudutnya kongruen (mereka memiliki ukuran yang sama). Ini menimbulkan fakta bahwa, jika dua segitiga serupa, sisi yang bersesuaian (atau homolog) adalah proporsional.
Teorema pertama Thales menyatakan bahwa jika dalam suatu segitiga diberikan garis lurus ditarik sejajar dengan salah satu sisinya, segitiga baru yang diperoleh akan sama dengan segitiga awal.
Anda juga mendapatkan hubungan antara sudut yang terbentuk, seperti terlihat pada gambar berikut.
Aplikasi
Di antara beberapa aplikasi yang menonjol salah satu yang menarik dan berkaitan dengan salah satu cara di mana pengukuran dibuat dari struktur besar di zaman kuno, waktu di mana Thales hidup dan di mana alat pengukur modern tidak tersedia. mereka ada sekarang.
Dikatakan bahwa inilah bagaimana Thales berhasil mengukur piramida tertinggi di Mesir, Cheops. Untuk ini, Thales mengira bahwa pantulan sinar matahari menyentuh tanah yang membentuk garis paralel. Di bawah asumsi ini, ia menusukkan tongkat atau tongkat secara vertikal ke tanah.
Kemudian ia menggunakan kesamaan dari dua segitiga yang dihasilkan, satu dibentuk oleh panjang bayangan piramida (yang dapat dengan mudah dihitung) dan tinggi piramida (yang tidak diketahui), dan yang lainnya dibentuk oleh panjang bayangan. dan tinggi batang (yang juga dapat dengan mudah dihitung).
Dengan menggunakan proporsionalitas antara panjang ini, Anda dapat membersihkan dan mengetahui ketinggian piramida.
Meskipun metode pengukuran ini dapat memberikan kesalahan perkiraan yang signifikan sehubungan dengan keakuratan ketinggian dan tergantung pada paralelisme dari sinar matahari (yang pada gilirannya tergantung pada waktu yang tepat), kita harus menyadari bahwa itu adalah ide yang sangat cerdik dan itu memberikan alternatif pengukuran yang baik untuk saat itu.
Contohnya
Temukan nilai x dalam setiap kasus:
Solusi
Di sini kita memiliki dua garis yang dipotong oleh dua garis paralel. Dengan Teorema Thales yang pertama, pihaknya masing-masing proporsional. Khususnya:
Solusi
Di sini kita memiliki dua segitiga, salah satunya dibentuk oleh ruas yang sejajar dengan salah satu sisi yang lain (tepatnya sisi panjang x). Dengan teorema pertama Tales Anda harus:
Teorema Kedua Tales
Teorema kedua Thales menentukan segitiga siku-siku yang bertuliskan keliling di setiap titik yang sama.
Segitiga yang bertuliskan keliling adalah segitiga yang simpul-simpulnya ada pada kelilingnya, dengan demikian terkandung di dalamnya.
Secara khusus, teorema kedua Thales menyatakan sebagai berikut: diberi lingkaran pusat O dan diameter AC, setiap titik B dari keliling (selain A dan C) menentukan segitiga siku-siku ABC, dengan sudut kanan Dengan pembenaran, catat bahwa baik OA dan OB dan OC sesuai dengan jari-jari keliling; oleh karena itu, pengukurannya sama. Dari sana diperoleh bahwa segitiga OAB dan OCB sama kaki, di mana Diketahui bahwa jumlah sudut segitiga sama dengan 180º. Menggunakan ini dengan segitiga ABC Anda harus: 2b + 2a = 180º. Secara ekuivalen, kita memiliki b + a = 90º dan b + a = Perhatikan bahwa segitiga siku-siku yang disediakan oleh teorema Thales kedua adalah tepat yang memiliki sisi miring sama dengan diameter keliling. Oleh karena itu, ia sepenuhnya ditentukan oleh setengah lingkaran yang berisi titik-titik segitiga; dalam hal ini, setengah lingkaran atas. Perhatikan juga bahwa dalam segitiga siku-siku yang diperoleh dengan menggunakan teorema Thales kedua, sisi miring dibagi menjadi dua bagian yang sama oleh OA dan OC (jari-jari). Pada gilirannya, ukuran ini sama dengan segmen OB (juga jari-jari), yang sesuai dengan median segitiga ABC oleh B. Dengan kata lain, panjang median segitiga siku-siku ABC yang sesuai dengan vertex B sepenuhnya ditentukan oleh setengah dari sisi miring. Ingatlah bahwa median segitiga adalah segmen dari salah satu simpul ke titik tengah sisi yang berlawanan; dalam hal ini, segmen BO. Cara lain untuk melihat teorema Thales kedua adalah melalui lingkaran yang dibatasi segitiga siku-siku. Secara umum, lingkaran yang dibatasi ke poligon terdiri dari keliling yang melewati setiap simpulnya, kapan pun dimungkinkan untuk dilacak.. Menggunakan teorema kedua Thales, diberi segitiga siku-siku, kita selalu dapat membuat lingkaran yang dibatasi untuk ini, dengan jari-jari sama dengan setengah dari sisi miring dan sirkumenter (pusat keliling) sama dengan titik tengah sisi miring. Aplikasi yang sangat penting dari teorema kedua Tales, dan mungkin yang paling sering digunakan, adalah untuk menemukan garis singgung pada keliling tertentu, pada titik P di luar ini (diketahui). Perhatikan bahwa diberi keliling (digambarkan dengan warna biru pada gambar di bawah) dan titik eksterior P, ada dua garis bersinggungan dengan keliling yang melewati P. Mari T dan T 'menjadi titik-titik singgung, r jari-jari keliling dan Atau pusatnya. Diketahui bahwa segmen yang bergerak dari pusat lingkaran ke titik singgung itu, tegak lurus terhadap garis singgung ini. Kemudian, sudut OTP lurus. Dari apa yang kita lihat sebelumnya dalam teorema pertama Thales dan versi-versi yang berbeda, kita melihat bahwa adalah mungkin untuk menuliskan segitiga OTP di lingkaran lain (merah). Secara analogi diperoleh bahwa segitiga OT'P dapat ditorehkan dalam lingkar sebelumnya yang sama. Dengan teorema kedua Thales, kita juga mendapatkan bahwa diameter keliling baru ini persis merupakan sisi miring dari segitiga OTP (yang sama dengan sisi miring dari segitiga OT'P), dan pusat adalah titik tengah dari sisi miring dari hipotenuse ini. Untuk menghitung pusat keliling baru, maka cukup untuk menghitung titik tengah antara pusat - katakan M - dari keliling awal (yang sudah kita ketahui) dan titik P (yang juga kita ketahui). Kemudian, jari-jari akan menjadi jarak antara titik M dan P ini. Dengan jari-jari dan pusat lingkaran merah kita dapat menemukan persamaan Cartesiannya, yang kita ingat diberikan oleh (x-h)2 + (y-k)2 = c2, di mana c adalah jari-jari dan titik (h, k) adalah pusat dari lingkaran. Mengetahui sekarang persamaan dari kedua keliling, kita dapat memotong mereka dengan memecahkan sistem persamaan yang dibentuk oleh ini, dan dengan demikian memperoleh titik-titik singgung T dan T '. Akhirnya, untuk mengetahui garis singgung yang diinginkan, cukuplah untuk menemukan persamaan garis lurus yang melewati T dan P, dan dengan T 'dan P. Pertimbangkan keliling diameter AC, pusat O, dan radius 1 cm. Biarkan B menjadi titik pada keliling sedemikian rupa sehingga AB = AC. Berapa ukuran AB? Dengan teorema kedua Thales kita memiliki bahwa segitiga ABC adalah persegi panjang dan sisi miring sesuai dengan diameter, yang dalam hal ini ukuran 2 cm (jari-jarinya 1 cm). Kemudian, oleh teorema Pythagoras kita harus:
Lingkar yang dibatasi
Aplikasi
Contoh
Solusi
Referensi