Rumus Teorema, Demonstrasi, Aplikasi, dan Latihan Euclid

itu Teorema Euclid menunjukkan sifat-sifat segitiga siku-siku dengan menggambar garis yang membaginya menjadi dua segitiga siku-siku baru yang mirip satu sama lain dan, pada gilirannya, mirip dengan segitiga asli; maka, ada hubungan proporsionalitas.

Euclid adalah salah satu ahli matematika dan geometer terhebat zaman kuno yang membuat beberapa demonstrasi teorema penting. Salah satu yang utama adalah yang menyandang namanya, yang telah memiliki aplikasi luas.

Ini telah terjadi karena, melalui teorema ini, ia menjelaskan dengan cara sederhana hubungan geometris yang ada di segitiga siku-siku, di mana kaki-kaki ini terkait dengan proyeksi mereka di sisi miring.

Indeks

1 Formula dan demonstrasi
- 1.1 Teorema ketinggian
- 1.2 Teorema kaki
2 Hubungan antara teorema Euclid
3 Latihan dipecahkan
- 3.1 Contoh 1
- 3.2 Contoh 2
4 Referensi

Formula dan demonstrasi

Teorema Euclid mengusulkan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, ketika sebuah garis digambar - yang mewakili ketinggian yang sesuai dengan sudut sudut kanan sehubungan dengan sisi miring - dua segitiga siku-siku terbentuk dari aslinya.

Segitiga ini akan mirip satu sama lain dan juga akan mirip dengan segitiga asli, yang berarti bahwa sisi yang sama sebanding satu sama lain:

Sudut tiga segitiga itu kongruen; artinya, ketika diputar hingga 180 derajat pada verteksnya, sudut bertepatan di sisi lain. Ini menyiratkan bahwa semua orang akan sama.

Dengan cara ini Anda juga dapat memverifikasi kesamaan yang ada di antara tiga segitiga, dengan persamaan sudut mereka. Dari kesamaan segitiga, Euclid menetapkan proporsi ini dari dua teorema:

- Teorema tinggi.

- Teorema kaki.

Teorema ini memiliki aplikasi yang luas. Dalam Antiquity itu digunakan untuk menghitung ketinggian atau jarak, yang merupakan kemajuan besar untuk trigonometri.

Saat ini diterapkan di beberapa bidang yang didasarkan pada matematika, seperti teknik, fisika, kimia dan astronomi, di antara banyak bidang lainnya.

Teorema tinggi

Teorema ini menyatakan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, ketinggian yang diambil dari sudut kanan sehubungan dengan sisi miring adalah rata-rata proporsional geometris (kuadrat tinggi) antara proyeksi kaki yang menentukan sisi miring.

Artinya, kuadrat tinggi akan sama dengan perkalian kaki yang diproyeksikan yang membentuk sisi miring:

h_c² = m _*n

Demonstrasi

Diberikan segitiga ABC, yang merupakan persegi panjang di puncak C, ketika merencanakan ketinggian dua segitiga siku-siku yang sama, ADC dan BCD, dihasilkan; oleh karena itu, sisi terkaitnya proporsional:

Sedemikian rupa sehingga tingginya h_c yang sesuai dengan segmen CD, sesuai dengan sisi miring AB = c, jadi kita harus:

Pada gilirannya, ini sesuai dengan:

Membersihkan sisi miring (h_c), untuk melipatgandakan kedua anggota kesetaraan, Anda harus:

h_{c *} h_{c =}m _*n

h_c² = m _*n

Dengan demikian, nilai sisi miring diberikan oleh:

Teorema kaki

Teorema ini menyatakan bahwa, dalam segitiga siku-siku apa pun, ukuran setiap kaki akan menjadi rata-rata proporsional geometris (kuadrat dari setiap kaki) antara pengukuran sisi miring (lengkap) dan proyeksi masing-masingnya:

b² = c _* m

a² = c_* n

Demonstrasi

Diberi segitiga ABC, yang merupakan persegi panjang di puncak C, sedemikian rupa sehingga sisi miringnya adalah c, ketika merencanakan tinggi (h) proyeksi kaki-kaki a dan b, yang merupakan segmen m dan n masing-masing, ditentukan. sisi miring.

Dengan demikian, kita memiliki bahwa ketinggian yang digambar pada segitiga siku-siku ABC menghasilkan dua segitiga siku-siku yang sama, ADC dan BCD, sehingga sisi yang sesuai proporsional, seperti ini:

DB = n, yang merupakan proyeksi dari kaki CB pada sisi miring.

AD = m, yang merupakan proyeksi dari AC cathetus pada sisi miring.

Kemudian, sisi miring c ditentukan oleh jumlah kaki dari proyeksi:

c = m + n

Karena kesamaan dari segitiga ADC dan BCD, kita harus:

Di atas sama dengan:

Dengan membersihkan kaki "a" untuk melipatgandakan kedua anggota persamaan, kita harus:

a _*a = c_*n

a² = c_*n

Dengan demikian, nilai kaki "a" diberikan oleh:

Demikian pula, dengan kesamaan segitiga ACB dan ADC, kita harus:

Di atas sama dengan:

Dengan membersihkan kaki "b" untuk melipatgandakan dua anggota kesetaraan, kita harus:

b _*b = c_*m

b² = c_*m

Dengan demikian, nilai kaki "b" diberikan oleh:

Hubungan antara teorema Euclid

Teorema dengan mengacu pada tinggi dan kaki terkait satu sama lain karena ukuran keduanya dibuat sehubungan dengan sisi miring dari segitiga siku-siku.

Melalui hubungan teorema Euclid nilai ketinggian juga dapat ditemukan; itu dimungkinkan dengan membersihkan nilai-nilai m dan n dari teorema kaki dan mereka diganti dalam teorema tinggi. Dengan cara ini, tingginya sama dengan multiplikasi kaki, dibagi dengan sisi miring:

b² = c_*m

m = b² ÷ c

a² = c_*n

n = a² ÷ c

Dalam teorema ketinggian, m dan n diganti:

h_c² = m _*n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b²_* a²) ÷ c

Latihan yang diselesaikan

Contoh 1

Dengan segitiga ABC, persegi panjang dalam A, tentukan ukuran AC dan AD, jika AB = 30 cm dan BD = 18 cm

Solusi

Dalam hal ini kita memiliki pengukuran salah satu kaki yang diproyeksikan (BD) dan salah satu kaki dari segitiga asli (AB). Dengan begitu Anda dapat menerapkan teorema kaki untuk menemukan nilai kaki BC.

AB² = BD _*SM

(30)² = 18 _*SM

900 = 18 _*SM

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Nilai CD cathetus dapat ditemukan mengetahui bahwa BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Sekarang adalah mungkin untuk menentukan nilai AC cathetus, menerapkan kembali teorema kaki:

AC² = CD _*BD

AC²= 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Untuk menentukan nilai ketinggian (AD) teorema tinggi diterapkan, karena nilai-nilai proyeksi kaki CD dan BD diketahui:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Contoh 2

Tentukan nilai ketinggian (h) segitiga MNL, persegi panjang dalam N, mengetahui pengukuran segmen:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Solusi

Anda memiliki pengukuran salah satu kaki yang diproyeksikan pada sisi miring (PM), serta pengukuran kaki-kaki dari segitiga asli. Dengan cara ini, teorema kaki dapat diterapkan untuk menemukan nilai kaki proyeksi lainnya (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Seperti yang telah kita ketahui nilai kaki dan sisi miringnya, melalui hubungan teorema tinggi dan kaki, nilai tinggi dapat ditentukan:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* a²) ÷ c.

h = (10²_* 5²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referensi

Braun, E. (2011). Kekacauan, fraktal, dan hal-hal aneh. Dana Budaya Ekonomi.
Cabrera, V. M. (1974). Matematika Modern, Volume 3.
Daniel Hernandez, D. P. (2014). Matematika tahun ke-3 Caracas: Santillana.
Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Ensiklopedia Hispanik: Macropedia. Penerbit Ensiklopedia Britannica.
Euclid, R. P. (1886). Elemen Geometri Euclid.
Guardeño, A. J. (2000). Warisan matematika: dari Euclid ke Newton, para genius melalui buku-bukunya. Universitas Seville.

Matematika

« Teorema Chebyshov Terdiri dari, Aplikasi, dan Contoh Teorema Lamy (dengan Latihan yang Dipecahkan) »