Teorema Chebyshov Terdiri dari, Aplikasi, dan Contoh



itu Teorema Chebyshov (atau ketidaksetaraan Chebyshov) adalah salah satu hasil klasik paling penting dari teori probabilitas. Ini memungkinkan memperkirakan probabilitas suatu peristiwa yang dijelaskan dalam variabel acak X, dengan memberi kita dimensi yang tidak bergantung pada distribusi variabel acak tetapi pada varian X.

Teorema ini dinamai sesuai matematikawan Rusia Pafnuty Chebyshov (juga ditulis sebagai Chebychev atau Tchebycheff) yang, meskipun bukan orang pertama yang mengucapkan teorema ini, adalah yang pertama memberikan demonstrasi pada tahun 1867.

Ketidaksetaraan ini, atau yang dengan karakteristiknya disebut ketimpangan Chebyshov, digunakan terutama untuk memperkirakan probabilitas dengan cara perhitungan dimensi..

Indeks

  • 1 Terdiri dari apakah itu??
  • 2 Aplikasi dan contoh
    • 2.1 Probabilitas batas
    • 2.2 Demonstrasi teorema batas
    • 2.3 Ukuran sampel
  • 3 Ketidaksetaraan ketik Chebyshov
  • 4 Referensi

Terdiri dari apa itu??

Dalam studi teori probabilitas, terjadi bahwa jika kita mengetahui fungsi distribusi variabel acak X, kita dapat menghitung nilai yang diharapkan - atau ekspektasi matematis E (X) - dan variansnya Var (X), selama Jumlah tersebut ada. Namun, timbal balik belum tentu benar.

Artinya, mengetahui E (X) dan Var (X) tidak selalu mungkin untuk mendapatkan fungsi distribusi X, sehingga jumlah seperti P (| X |> k) untuk beberapa k> 0 sangat sulit diperoleh. Namun berkat ketidaksetaraan Chebyshov, dimungkinkan untuk memperkirakan probabilitas variabel acak.

Teorema Chebyshov memberi tahu kita bahwa jika kita memiliki variabel acak X di atas ruang sampel S dengan fungsi probabilitas p, dan jika k> 0, maka:

Aplikasi dan contoh

Di antara banyak aplikasi yang dimiliki teorema Chebyshov, berikut ini dapat disebutkan:

Batas probabilitas

Ini adalah aplikasi yang paling umum dan digunakan untuk memberikan batas atas untuk P (| X-E (X) | ≥k) di mana k> 0, hanya dengan varian dan harapan dari variabel acak X, tanpa mengetahui fungsi probabilitas.

Contoh 1

Misalkan jumlah produk yang diproduksi di perusahaan selama seminggu adalah variabel acak dengan rata-rata 50.

Jika kita tahu bahwa varians dari minggu produksi sama dengan 25, maka apa yang bisa kita katakan tentang probabilitas bahwa dalam minggu ini produksi akan berbeda lebih dari 10 dari rata-rata?

Solusi

Menerapkan ketimpangan Chebyshov kita harus:

Dari ini kita dapat memperoleh bahwa probabilitas bahwa dalam minggu produksi jumlah artikel melebihi lebih dari 10 dengan rata-rata paling banyak 1/4.

Demonstrasi teorema batas

Ketidaksetaraan Chebyshov memainkan peran penting dalam demonstrasi teorema batas paling penting. Sebagai contoh, kami memiliki yang berikut ini:

Hukum lemah dalam jumlah besar

Hukum ini menetapkan bahwa diberikan urutan X1, X2, ..., Xn, ... variabel acak independen dengan distribusi rata-rata yang sama E (Xi) = μ dan varians Var (X) = σ2, dan sampel rata-rata yang diketahui:

Maka untuk k> 0 Anda harus:

Atau, yang setara:

Demonstrasi

Pertama mari kita perhatikan hal berikut:

Karena X1, X2, ..., Xn bersifat independen, maka sebagai berikut:

Karena itu, dimungkinkan untuk menegaskan hal-hal berikut:

Kemudian, menggunakan teorema Chebyshov, kita harus:

Akhirnya, teorema hasil dari fakta bahwa batas ke kanan adalah nol ketika n cenderung tak terhingga.

Perlu dicatat bahwa tes ini dilakukan hanya untuk kasus di mana varian Xi ada; itu tidak menyimpang. Jadi kita mengamati bahwa teorema itu selalu benar jika E (Xi) ada.

Teorema batas Chebyshov

Jika X1, X2, ..., Xn, ... adalah suksesi dari variabel acak independen sehingga ada beberapa C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Demonstrasi

Karena suksesi varian dibatasi secara seragam, kita memiliki Var (Sn) ≤ C / n, untuk semua n alami. Tetapi kita tahu bahwa:

Dengan membuat n cenderung ke arah tak hingga, hasil berikut:

Karena probabilitas tidak dapat melebihi nilai 1, hasil yang diinginkan diperoleh. Sebagai konsekuensi dari teorema ini, kita dapat menyebutkan kasus khusus Bernoulli.

Jika percobaan diulangi n kali secara independen dengan dua hasil yang mungkin (kegagalan dan keberhasilan), di mana p adalah probabilitas keberhasilan dalam setiap percobaan dan X adalah variabel acak yang mewakili jumlah keberhasilan yang diperoleh, maka untuk setiap k> 0 Anda harus:

Ukuran sampel

Dalam hal varians, ketidaksetaraan Chebyshov memungkinkan kita untuk menemukan ukuran sampel n yang cukup untuk menjamin bahwa probabilitas bahwa | Sn-μ |> k terjadi adalah sekecil yang diinginkan, yang memungkinkan kita untuk memiliki perkiraan untuk rata-rata.

Tepatnya, misalkan X1, X2, ... Xn menjadi sampel variabel acak independen ukuran n dan mari kita anggap bahwa E (Xi) = μ dan variansnya σ2. Kemudian, karena ketidaksetaraan Chebyshov, kita harus:

Contoh

Misalkan X1, X2, ... Xn adalah sampel variabel acak independen dengan distribusi Bernoulli, sehingga mereka mengambil nilai 1 dengan probabilitas p = 0,5.

Apa yang seharusnya menjadi ukuran sampel untuk dapat menjamin bahwa probabilitas bahwa perbedaan antara rata-rata aritmatik Sn dan nilai yang diharapkan (melebihi lebih dari 0,1) kurang dari atau sama dengan 0. 01?

Solusi

Kami memiliki E (X) = μ = p = 0,5 dan bahwa Var (X) = σ2= p (1-p) = 0.25. Untuk ketimpangan Chebyshov, untuk setiap k> 0 kita harus:

Sekarang, dengan mengambil k = 0,1 dan δ = 0,01, kita harus:

Dengan cara ini disimpulkan bahwa ukuran sampel minimal 2.500 diperlukan untuk memastikan bahwa probabilitas acara | Sn - 0,5 |> = 0,1 kurang dari 0,01.

Ketidaksetaraan jenis Chebyshov

Ada berbagai ketidaksetaraan yang terkait dengan ketidaksetaraan Chebyshov. Salah satu yang paling terkenal adalah ketimpangan Markov:

Dalam ungkapan ini X adalah variabel acak non-negatif dengan k, r> 0.

Ketidaksetaraan Markov dapat mengambil bentuk yang berbeda. Sebagai contoh, misalkan Y menjadi variabel acak non negatif (jadi P (Y> = 0) = 1) dan anggaplah bahwa E (Y) = μ ada. Misalkan juga (E (Y))r= μr ada untuk beberapa bilangan bulat r> 1. Lalu:

Ketidaksetaraan lainnya adalah Gauss, yang memberi tahu kita bahwa diberi variabel acak unimodal X dengan mode nol, maka untuk k> 0,

Referensi

  1. Kai Lai Chung Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth. H. Rosen, Matematika Terpisah dan Penerapannya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Aplikasi Probabilitas dan Statistik. S.A. ALHAMBRA MEKSIKO.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matematika Terpecahkan Masalah Terpecahkan. McGraw-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori dan Masalah Probabilitas. McGraw-HILL.