Penjelasan Teorema Bolzano, Aplikasi dan Latihan Diselesaikan

itu Teorema Bolzano menetapkan bahwa jika suatu fungsi kontinu di semua titik dari interval tertutup [a, b] dan yakin bahwa gambar "a" dan "b" (di bawah fungsi) memiliki tanda yang berlawanan, maka akan ada setidaknya satu titik "C" dalam interval terbuka (a, b), sehingga fungsi yang dievaluasi dalam "c" akan sama dengan 0.

Teorema ini diucapkan oleh filsuf, teolog dan matematikawan Bernard Bolzano pada tahun 1850. Ilmuwan ini, yang lahir di Republik Ceko masa kini, adalah salah satu ahli matematika pertama dalam sejarah yang membuat demonstrasi formal tentang sifat-sifat fungsi kontinu.

Indeks

• 1 Penjelasan
• 2 Demonstrasi
• 3 Untuk apa ini??
• 4 Latihan dipecahkan
  • 4.1 Latihan 1
  • 4.2 Latihan 2
• 5 Referensi

Penjelasan

Teorema Bolzano juga dikenal sebagai teorema nilai-menengah, yang membantu dalam penentuan nilai-nilai spesifik, khususnya nol, fungsi-fungsi nyata tertentu dari variabel nyata.

Dalam fungsi tertentu f (x) melanjutkan -yaitu, bahwa f (a) dan f (b) dihubungkan oleh kurva-, di mana f (a) berada di bawah sumbu x (negatif), dan f (b) adalah di atas sumbu x (positif), atau sebaliknya, secara grafis akan ada titik potong pada sumbu x yang akan mewakili nilai perantara "c", yang akan berada di antara "a" dan "b", dan nilai f (c) akan sama dengan 0.

Dengan menganalisis teorema Bolzano secara grafik, kita dapat mengetahui bahwa untuk setiap fungsi f kontinu didefinisikan dalam interval [a, b], di mana f (a)_*f (b) kurang dari 0, akan ada setidaknya satu root "c" dari fungsi itu dalam interval (a, b).

Teorema ini tidak menetapkan jumlah titik yang ada dalam interval terbuka, hanya menyatakan bahwa setidaknya ada 1 titik.

Demonstrasi

Untuk membuktikan teorema Bolzano, diasumsikan tanpa kehilangan sifat umum bahwa f (a) < 0 y f(b) > 0; dengan cara itu, mungkin ada banyak nilai antara "a" dan "b" yang f (x) = 0, tetapi Anda hanya perlu menunjukkan bahwa ada satu.

Mulailah dengan mengevaluasi f pada titik tengah (a + b) / 2. Jika f ((a + b) / 2) = 0 maka tes berakhir di sini; jika tidak, maka f ((a + b) / 2) positif atau negatif.

Salah satu bagian dari interval [a, b] dipilih, sehingga tanda-tanda fungsi yang dievaluasi pada ujungnya berbeda. Interval baru ini adalah [a1, b1].

Sekarang, jika f dievaluasi pada titik tengah [a1, b1] bukan nol, maka operasi yang sama seperti sebelumnya dilakukan; yaitu, setengah dari interval ini yang memenuhi kondisi tanda dipilih. Jadilah interval baru ini [a2, b2].

Jika proses ini dilanjutkan, maka dua suksesi an dan bn akan diambil, sehingga:

an meningkat dan bn menurun:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Jika Anda menghitung panjang setiap interval [ai, bi], Anda harus:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Oleh karena itu, batas ketika n cenderung tak hingga (bn-an) sama dengan 0.

Menggunakan an meningkat dan dibatasi dan bn menurun dan dibatasi, harus ada nilai "c" sehingga:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Batas an adalah "c" dan batas bn juga "c". Oleh karena itu, mengingat δ> 0, selalu ada "n" sehingga interval [an, bn] terkandung dalam interval (c-δ, c + δ).

Sekarang, harus ditunjukkan bahwa f (c) = 0.

Jika f (c)> 0, maka karena f adalah kontinu, terdapat ε> 0 sehingga f positif sepanjang interval (c-ε, c + ε). Namun, seperti yang dinyatakan di atas, ada nilai "n" sehingga f berubah masuk [a, bn] dan, di samping itu, [an, bn] terdapat di dalam (c-ε, c + ε), apa itu kontradiksi.

Jika f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 sedemikian rupa sehingga f negatif sepanjang interval (c-ε, c + ε); tapi ada nilai "n" sehingga f berubah masuk [an, bn]. Ternyata [an, bn] terdapat di dalam (c-ε, c + ε), yang juga merupakan kontradiksi.

Karenanya, f (c) = 0 dan inilah yang ingin kami tunjukkan.

Untuk apa ini??

Dari interpretasi grafisnya, teorema Bolzano digunakan untuk menemukan akar atau nol dalam fungsi kontinu, melalui pembagian dua (aproksimasi), yang merupakan metode pencarian tambahan yang selalu membagi interval menjadi 2.

Kemudian ambil interval [a, c] atau [c, b] di mana perubahan tanda terjadi, dan ulangi prosesnya hingga interval lebih kecil dan lebih kecil, sehingga Anda dapat mendekati nilai yang Anda inginkan; yaitu, nilai yang dihasilkan fungsi 0.

Singkatnya, untuk menerapkan teorema Bolzano dan dengan demikian menemukan akar, membatasi nol fungsi atau memberikan solusi untuk persamaan, langkah-langkah berikut dilakukan:

- Itu diverifikasi jika f adalah fungsi kontinu dalam interval [a, b].

- Jika interval tidak diberikan, harus ditemukan di mana fungsi ini kontinu.

- Ini diverifikasi jika ekstrem interval memberikan tanda-tanda yang berlawanan ketika dievaluasi dalam f.

- Jika tanda-tanda yang berlawanan tidak diperoleh, interval harus dibagi menjadi dua sub-intervensi menggunakan titik tengah.

- Mengevaluasi fungsi di titik tengah dan memverifikasi bahwa hipotesis Bolzano terpenuhi, di mana f (a) _* f (b) < 0.

- Bergantung pada tanda (positif atau negatif) dari nilai yang ditemukan, proses diulangi dengan subinterval baru sampai hipotesis yang disebutkan terpenuhi.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Tentukan apakah fungsi f (x) = x² - 2, memiliki setidaknya satu solusi nyata dalam interval [1,2].

Solusi

Kami memiliki fungsi f (x) = x² - 2. Karena polinomial, itu berarti kontinu dalam interval apa pun.

Anda diminta untuk menentukan apakah Anda memiliki solusi nyata dalam interval [1, 2], jadi sekarang Anda hanya perlu mengganti ujung interval dalam fungsi untuk mengetahui tanda ini dan tahu apakah mereka memenuhi syarat menjadi berbeda:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatif)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positif)

Oleh karena itu, tanda f (1) ≠ tanda f (2).

Ini memastikan bahwa setidaknya ada satu titik "c" yang termasuk dalam interval [1,2], di mana f (c) = 0.

Dalam hal ini, nilai "c" dapat dengan mudah dihitung sebagai berikut:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Dengan demikian, √2 ≈ 1,4 termasuk dalam interval [1,2] dan memenuhi bahwa f (√2) = 0.

Latihan 2

Buktikan bahwa persamaan x⁵ + x + 1 = 0 memiliki setidaknya satu solusi nyata.

Solusi

Perhatikan pertama bahwa f (x) = x⁵ + x +1 adalah fungsi polinomial, yang berarti kontinu dalam semua bilangan real.

Dalam hal ini, tidak ada interval yang diberikan, sehingga nilai harus dipilih secara intuitif, lebih disukai mendekati 0, untuk mengevaluasi fungsi dan menemukan tanda perubahan:

Jika Anda menggunakan interval [0, 1] Anda harus:

f (x) = x⁵ + x +1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Karena tidak ada perubahan tanda, proses diulangi dengan interval lain.

Jika Anda menggunakan interval [-1, 0] Anda harus:

f (x) = x⁵ + x +1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Dalam interval ini ada perubahan tanda: tanda f (-1) ≠ tanda f (0), yang berarti bahwa fungsi f (x) = x⁵ + x + 1 memiliki setidaknya satu root nyata "c" dalam interval [-1, 0], sehingga f (c) = 0. Dengan kata lain, memang benar bahwa x⁵ + x + 1 = 0 memiliki solusi nyata dalam interval [-1,0].

Referensi

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Manual Matematika untuk Insinyur dan Siswa ... Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matematika dan Pikiran. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Analisis Matematika Dalam tiga volume ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Guru Pendidikan Menengah. Volume II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Sifat dasar analisis dalam R. Editor, 20 Des.
6. Piskunov, N. (1980). Kalkulus Diferensial dan Integral ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematika untuk Analisis Ekonomi. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Simetri Berkelanjutan: Dari Euclid ke Klein. Amerika Matematika Soc.