Bagikan:
Hukum Morgan
Lmata Morgan mereka aturan inferensi yang digunakan dalam logika proposisional, yang menetapkan apa hasil dari menyangkal disjungsi dan konjungsi dari proposisi atau variabel proposisional. Hukum-hukum ini didefinisikan oleh ahli matematika Augustus De Morgan.
Hukum Morgan merupakan alat yang sangat berguna untuk menunjukkan validitas penalaran matematis. Kemudian mereka digeneralisasi dalam konsep set oleh ahli matematika George Boole.
Generalisasi yang dibuat oleh Boole ini benar-benar setara dengan hukum awal Morgan, tetapi dikembangkan khusus untuk perangkat daripada untuk proposisi. Generalisasi ini juga dikenal sebagai hukum Morgan.
Indeks
- 1 Tinjauan logika proposisional
- 1.1 Kekeliruan
- 1.2 Proposisi
- 2 Hukum Morgan
- 2.1 Demonstrasi
- 3 Set
- 3.1 Persatuan, persimpangan dan pelengkap set
- 4 Hukum Morgan untuk set
- 5 Referensi
Tinjauan logika proposisional
Sebelum melihat apa hukum Morgan secara spesifik dan bagaimana hukum itu digunakan, akan lebih mudah untuk mengingat beberapa gagasan dasar tentang logika proposisional. (Untuk lebih jelasnya lihat artikel logika proposisional).
Dalam bidang logika matematika (atau proposisional), kesimpulan adalah kesimpulan yang dipancarkan dari seperangkat premis atau hipotesis. Kesimpulan ini, bersama dengan premis-premis yang disebutkan, memunculkan apa yang dikenal sebagai penalaran matematis.
Alasan ini harus dapat ditunjukkan atau ditolak; artinya, tidak semua kesimpulan atau kesimpulan dalam penalaran matematis valid.
Kekeliruan
Kesimpulan palsu yang dipancarkan dari asumsi tertentu yang dianggap benar dikenal sebagai kekeliruan. Kekeliruan memiliki kekhasan menjadi argumen yang tampaknya benar, tetapi secara matematis tidak.
Logika proposisional bertanggung jawab untuk mengembangkan dan menyediakan metode yang tepat yang dengannya seseorang dapat, tanpa ambiguitas, memvalidasi atau membantah alasan matematika; yaitu, simpulkan kesimpulan yang valid dari premis. Metode-metode ini dikenal sebagai aturan inferensi, di mana hukum Morgan menjadi bagiannya.
Proposisi
Elemen penting dari logika proposisional adalah proposisi. Proposisi adalah pernyataan tentang mana seseorang dapat mengatakan apakah itu valid atau tidak, tetapi mereka tidak dapat benar atau salah pada saat yang sama. Seharusnya tidak ada ambiguitas dalam hal ini.
Seperti halnya angka dapat digabungkan melalui operasi penjumlahan, pengurangan, penggandaan dan pembagian, proposisi dapat dioperasikan dengan menggunakan penghubung yang dikenal (atau penghubung) logis: negasi (¬, "tidak"), disjunction (V , "O"), konjungsi (Ʌ, "dan"), bersyarat (→, "jika ..., lalu ...") dan bikondisional (↔, "ya, dan hanya jika").
Untuk bekerja secara lebih umum, alih-alih mempertimbangkan proposisi tertentu, kami mempertimbangkan variabel proposisional yang mewakili proposisi apa pun, dan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, s, dll..
Rumus proposisional adalah kombinasi dari variabel proposisional melalui beberapa ikat logis. Dengan kata lain, ini adalah komposisi variabel proposisional. Mereka biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani.
Dikatakan bahwa formula proposisional secara logis mengimplikasikan yang lain ketika yang terakhir benar setiap kali yang pertama benar. Ini dilambangkan dengan:
Ketika implikasi logis antara dua formula proposisional adalah timbal balik - yaitu, ketika implikasi sebelumnya valid juga di arah yang berlawanan - formula dikatakan setara secara logis, dan dilambangkan dengan
Kesetaraan logis adalah semacam kesetaraan antara formula proposisional dan memungkinkan untuk mengganti satu dengan yang lain jika diperlukan.
Hukum Morgan
Hukum Morgan terdiri dari dua kesetaraan logis antara dua bentuk proposisional, yaitu:
Undang-undang ini memungkinkan untuk memisahkan negasi dari disjungsi atau konjungsi, sebagai negasi dari variabel yang terlibat.
Yang pertama dapat dibaca sebagai berikut: negasi dari disjungsi sama dengan konjungsi dari negasi. Dan yang kedua berbunyi seperti ini: negasi dari konjungsi adalah disjungsi negasi.
Dengan kata lain, menyangkal disjungsi dari dua variabel proposisional setara dengan hubungannya dengan negasi dari kedua variabel. Demikian juga, untuk menolak konjungsi dari dua variabel proposisional sama dengan disjungsi negasi dari kedua variabel.
Seperti yang disebutkan sebelumnya, penggantian kesetaraan logis ini membantu menunjukkan hasil penting, bersama dengan aturan inferensi lain yang ada. Dengan ini, Anda dapat menyederhanakan banyak formula proposisional, sehingga lebih berguna untuk bekerja.
Berikut ini adalah contoh bukti matematis menggunakan aturan inferensi, di antara hukum Morgan ini. Secara khusus, ditunjukkan bahwa rumus:
setara dengan:
Yang terakhir lebih mudah untuk dipahami dan dikembangkan.
Demonstrasi
Perlu disebutkan bahwa validitas hukum Morgan dapat diperlihatkan secara matematis. Salah satu caranya adalah dengan membandingkan tabel kebenaran Anda.
Set
Aturan inferensi yang sama dan gagasan logika yang diterapkan pada proposisi, juga dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan perangkat. Ini adalah apa yang dikenal sebagai aljabar Boolean, setelah ahli matematika George Boole.
Untuk membedakan kasus-kasus, perlu untuk mengubah notasi dan transfer ke set, semua gagasan sudah terlihat dari logika proposisional.
Satu set adalah kumpulan objek. Set dinotasikan dengan huruf kapital A, B, C, X, ... dan elemen-elemen dari set dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, x, dll. Ketika elemen a milik set X, itu dilambangkan dengan:
Ketika itu bukan milik X, notasinya adalah:
Cara untuk mewakili set adalah menempatkan elemen mereka di dalam kunci. Misalnya, himpunan bilangan asli diwakili oleh:
Set juga dapat direpresentasikan tanpa menulis daftar eksplisit elemen mereka. Mereka dapat diekspresikan dalam bentuk :. Kedua poin tersebut dibaca "sedemikian rupa". Variabel yang mewakili unsur-unsur himpunan ditempatkan di sebelah kiri dua titik, dan properti atau kondisi yang mereka puas ditempatkan di sisi kanan. Ini adalah:
Misalnya, himpunan bilangan bulat lebih besar dari -4 dapat dinyatakan sebagai:
Atau sederajat, dan lebih disingkat, sebagai:
Demikian pula, ekspresi berikut ini mewakili set angka genap dan ganjil, masing-masing:
Persatuan, persimpangan dan pelengkap set
Selanjutnya kita akan melihat analog dari ikat logis dalam kasus set, yang merupakan bagian dari operasi dasar antara set.
Persatuan dan persimpangan
Persatuan dan persimpangan set didefinisikan, masing-masing, dengan cara berikut:
Sebagai contoh, pertimbangkan set:
Maka, Anda harus:
Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan dibentuk oleh elemen-elemen yang bukan milik himpunan itu (dari jenis yang sama yang mewakili aslinya). Komplemen dari himpunan A, dilambangkan dengan:
Misalnya, dalam bilangan asli, komplemen dari himpunan bilangan genap adalah bilangan ganjil, dan sebaliknya.
Untuk menentukan komplemen suatu himpunan, harus jelas dari awal himpunan elemen universal atau utama yang sedang dipertimbangkan. Sebagai contoh, tidak sama dengan mempertimbangkan komplemen dari himpunan pada bilangan alami yang pada bilangan rasional.
Tabel berikut ini menunjukkan hubungan atau analogi yang ada antara operasi pada set yang ditentukan sebelumnya, dan yang menghubungkan logika proposisional:
Hukum Morgan untuk set
Akhirnya, hukum Morgan tentang set adalah:
Dengan kata lain: komplemen dari persatuan adalah persimpangan dari komplemen, dan komplemen dari persimpangan adalah persatuan komplemen.
Bukti matematis dari persamaan pertama adalah sebagai berikut:
Demonstrasi yang kedua adalah analog.
Referensi
- Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Editorial Limusa.
- Aylwin, C. U. (2011). Logika, Perangkat, dan Angka. Mérida - Venezuela: Dewan Publikasi, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengantar Teori Angka. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Kursus dasar dalam teori bilangan. Universitas Utara.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Cara Mengembangkan Penalaran Logis Logis. Editorial Universitas.
- Guevara, M. H. (s.f.). Teori Bilangan. EUNED.
- Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori angka. Buku Visi Editorial.