Distribusi Karakteristik dan Latihan Probabilitas Diskrit



itu Distribusi probabilitas diskrit adalah fungsi yang memberikan masing-masing elemen X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., di mana X adalah variabel acak diskrit yang diberikan dan S adalah ruang sampelnya, probabilitas bahwa peristiwa tersebut akan terjadi. Fungsi ini dari X (S) didefinisikan sebagai f (xi) = P (X = xi) kadang-kadang disebut fungsi massa probabilitas.

Massa probabilitas ini biasanya direpresentasikan sebagai sebuah tabel. Karena X adalah variabel acak diskrit, X (S) memiliki jumlah peristiwa hingga atau tak terhingga yang dapat dihitung. Di antara distribusi probabilitas diskrit yang paling umum, kami memiliki distribusi seragam, distribusi binomial, dan distribusi Poisson.

Indeks

  • 1 Karakteristik
  • 2 Jenis
    • 2.1 Distribusi seragam atas n poin
    • 2.2 Distribusi binomial
    • 2.3 Distribusi poisson
    • 2.4 Distribusi hypergeometric
  • 3 Latihan dipecahkan
    • 3.1 Latihan pertama
    • 3.2 Latihan kedua
    • 3.3 Latihan ketiga
    • 3.4 Latihan ketiga
  • 4 Referensi

Fitur

Fungsi distribusi probabilitas harus memenuhi ketentuan berikut:

Juga, jika X hanya mengambil sejumlah nilai terbatas (misalnya x1, x2, ..., xn), maka p (xi) = 0 jika i> ny, oleh karena itu, deret tak terbatas dari kondisi b menjadi seri terbatas.

Fungsi ini juga memenuhi properti berikut:

Biarkan B menjadi peristiwa yang terkait dengan variabel acak X. Ini berarti bahwa B terkandung dalam X (S). Secara khusus, anggap bahwa B = xi1, xi2, .... Oleh karena itu:

Dengan kata lain: probabilitas kejadian B sama dengan jumlah probabilitas hasil individu yang dikaitkan dengan B.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa jika a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Jenis

Distribusi seragam lebih dari n poin

Dikatakan bahwa variabel acak X mengikuti distribusi yang ditandai dengan menjadi seragam dalam n poin jika setiap nilai diberikan probabilitas yang sama. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Misalkan kita memiliki percobaan yang memiliki dua hasil yang mungkin, itu bisa berupa pelemparan koin yang kemungkinan hasilnya adalah wajah atau cap, atau pilihan bilangan bulat yang hasilnya bisa bilangan genap atau bilangan ganjil; jenis percobaan ini dikenal sebagai tes Bernoulli.

Secara umum, dua hasil yang mungkin disebut keberhasilan dan kegagalan, di mana p adalah probabilitas keberhasilan dan 1-p dari kegagalan. Kami dapat menentukan probabilitas x keberhasilan dalam tes Bernoulli yang independen satu sama lain dengan distribusi berikut.

Distribusi binomial

Ini adalah fungsi yang mewakili probabilitas memperoleh x keberhasilan dalam n tes Bernoulli independen, yang probabilitas keberhasilannya adalah p. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Grafik berikut menunjukkan massa fungsi probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi binomial.

Distribusi berikut berutang namanya kepada ahli matematika Prancis Simeon Poisson (1781-1840), yang memperolehnya sebagai batas distribusi binomial..

Distribusi poisson

Dikatakan bahwa variabel acak X memiliki distribusi Poisson parameter λ ketika dapat mengambil nilai integer positif 0,1,2,3, ... dengan probabilitas berikut:

Dalam ungkapan ini λ adalah angka rata-rata yang sesuai dengan kejadian peristiwa untuk setiap unit waktu, dan x adalah berapa kali peristiwa itu terjadi.

Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Selanjutnya, grafik yang mewakili fungsi massa probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi Poisson.

Perhatikan bahwa, selama jumlah keberhasilan rendah dan jumlah n tes yang dilakukan dalam distribusi binomial tinggi, kami selalu dapat memperkirakan distribusi ini, karena distribusi Poisson adalah batas distribusi binomial..

Perbedaan utama antara kedua distribusi ini adalah bahwa, sementara binomial tergantung pada dua parameter - yaitu, n dan p -, Poisson hanya bergantung pada λ, yang kadang-kadang disebut intensitas distribusi.

Sejauh ini kami hanya berbicara tentang distribusi probabilitas untuk kasus-kasus di mana eksperimen yang berbeda saling independen; yaitu, ketika hasil dari satu tidak terpengaruh oleh beberapa hasil lainnya.

Ketika terjadi eksperimen yang tidak independen terjadi, distribusi hipergeometrik sangat berguna.

Distribusi hypergeometric

Misalkan N adalah jumlah total objek dari himpunan berhingga, yang dengannya kita dapat mengidentifikasi k dari ini dengan beberapa cara, membentuk subset K, yang komplemennya dibentuk oleh elemen N-k yang tersisa.

Jika kita secara acak memilih n objek, variabel acak X yang mewakili jumlah objek milik K dalam pemilihan itu memiliki distribusi hypergeometrik dari parameter N, n dan k. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Grafik berikut menunjukkan massa fungsi probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi hipergeometrik.

Latihan yang diselesaikan

Latihan pertama

Misalkan probabilitas bahwa tabung radio (dimasukkan ke dalam jenis peralatan tertentu) bekerja selama lebih dari 500 jam adalah 0,2. Jika 20 tabung diuji, berapakah probabilitas bahwa k ini akan bekerja lebih dari 500 jam, k = 0, 1,2, ..., 20?

Solusi

Jika X adalah jumlah tabung yang bekerja lebih dari 500 jam, kami akan menganggap bahwa X memiliki distribusi binomial. Lalu

Jadi:

Untuk k≥11, probabilitasnya kurang dari 0,001

Jadi kita bisa melihat bagaimana probabilitas bahwa k ini bekerja lebih dari 500 jam naik, sampai mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mulai menurun.

Latihan kedua

Koin dilemparkan 6 kali. Ketika hasilnya mahal, kita akan mengatakan bahwa itu sukses. Berapa probabilitas dua wajah keluar dengan tepat?

Solusi

Untuk kasus ini kita memiliki n = 6 dan probabilitas keberhasilan dan kegagalan adalah p = q = 1/2

Oleh karena itu, probabilitas dua wajah diberikan (yaitu k = 2) adalah

Latihan ketiga

Berapa probabilitas menemukan setidaknya empat wajah?

Solusi

Untuk kasus ini kita memiliki k = 4, 5 atau 6

Latihan ketiga

Misalkan 2% dari artikel yang diproduksi di pabrik rusak. Temukan probabilitas P bahwa ada tiga item yang rusak dalam sampel 100 item.

Solusi

Untuk kasus ini kita bisa menerapkan distribusi binomial untuk n = 100 dan p = 0,02, memperoleh hasilnya:

Namun, karena p kecil, kami menggunakan pendekatan Poisson dengan λ = np = 2. Jadi,

Referensi

  1. Kai Lai Chung Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth. H. Rosen, Matematika Terpisah dan Penerapannya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Aplikasi Probabilitas dan Statistik. S.A. ALHAMBRA MEKSIKO.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matematika Terpecahkan Masalah Terpecahkan. McGraw-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori dan Masalah Probabilitas. McGraw-HILL.