Trinomial Bentuk x ^ 2 + bx + c (dengan Contoh)

Sebelum belajar memecahkan trinomial dari bentuk x ^ 2 + bx + c, dan bahkan sebelum mengetahui konsep trinomial, penting untuk mengetahui dua konsep penting; yaitu, konsep monomial dan polinomial. Monomial adalah ekspresi dari tipe a * xⁿ, di mana a adalah bilangan rasional, n adalah bilangan alami dan x adalah variabel.

Polinomial adalah kombinasi linear dari monomial bentuk a_n* xⁿ+a_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+a₁* x + a₀, dimana masing-masing a_saya, dengan i = 0, ..., n, adalah bilangan rasional, n adalah bilangan alami dan a_n adalah nol. Dalam hal ini dikatakan bahwa derajat polinom adalah n.

Polinomial yang dibentuk oleh penjumlahan hanya dua suku (dua monomial) dengan derajat yang berbeda, dikenal sebagai binomial.

Indeks

• 1 Trinomial
  • 1.1 Trinomial persegi sempurna
• 2 Karakteristik dari trinomial kelas 2
  • 2.1 Kotak sempurna
  • 2.2 Formula pelarut
  • 2.3 Interpretasi geometris
  • 2.4 Anjak piutang dari trinomial
• 3 Contoh
  • 3.1 Contoh 1
  • 3.2 Contoh 2
• 4 Referensi

Trinomi

Polinomial yang dibentuk dengan penjumlahan hanya tiga suku (tiga monomial) dengan derajat berbeda dikenal sebagai trinomial. Berikut ini adalah contoh dari trinomial:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Ada beberapa jenis trinomial. Dari semua ini menyoroti trinomial persegi yang sempurna.

Trinomial persegi sempurna

Trinomial kuadrat sempurna adalah hasil dari pengangkatan binomial kuadrat. Sebagai contoh:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2 tahun⁴)²= 16x⁴-16x²dan⁴+4thn⁸
• 1 / 16x²dan⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Karakteristik trinomial kelas 2

Kotak sempurna

Secara umum, trinomial dari bentuk kapak²+bx + c adalah kuadrat sempurna jika diskriminannya sama dengan nol; yaitu, jika b²-4ac = 0, karena dalam kasus ini hanya akan memiliki satu root dan dapat diekspresikan dalam bentuk a (x-d)²= (√a (x-d))², di mana d adalah root sudah disebutkan.

Akar polinomial adalah angka di mana polinomial menjadi nol; dengan kata lain, angka yang, dengan menggantinya dengan x dalam ekspresi polinomial, menghasilkan nol.

Formula pelarut

Formula umum untuk menghitung akar polinomial derajat kedua dari kapak bentuk²+bx + c adalah rumus resolver, yang menyatakan bahwa akar ini diberikan oleh (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, di mana b²-4ac dikenal sebagai diskriminan dan biasanya dilambangkan dengan Δ. Dari rumus ini mengikuti kapak itu²+bx + c memiliki:

- Dua akar nyata yang berbeda jika Δ> 0.

- Root tunggal asli jika Δ = 0.

- Tidak memiliki root nyata jika Δ<0.

Berikut ini kami akan mempertimbangkan hanya trinomial dari bentuk x²+bx + c, di mana jelas c harus berupa angka bukan nol (jika tidak maka akan menjadi binomial). Trinomial jenis ini memiliki keuntungan tertentu ketika memfaktorkan dan mengoperasikannya.

Interpretasi geometris

Secara geometris, trinomial x²+bx + c adalah parabola yang terbuka ke atas dan memiliki titik pada titik (-b / 2, -b²/ 4 + c) dari bidang Cartesian karena x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Parabola ini memotong sumbu Y pada titik (0, c) dan sumbu X pada titik (d₁,0) dan (d)₂,0); lalu, d₁ dan d₂ mereka adalah akar dari trinomial. Dapat terjadi bahwa trinomial memiliki satu akar d, dalam hal ini satu-satunya potongan dengan sumbu X adalah (d, 0).

Bisa juga terjadi bahwa trinomial tidak memiliki akar nyata, dalam hal ini tidak akan memotong sumbu X di titik mana pun.

Misalnya, x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² adalah parabola dengan simpul di (-3,0), yang memotong sumbu Y di (0,9) dan sumbu X di (-3,0).

Faktorisasi Trinomial

Alat yang sangat berguna ketika bekerja dengan polinomial adalah anjak piutang, yaitu untuk mengekspresikan polinomial sebagai produk dari faktor. Secara umum, diberikan trinomial berupa x²+bx + c, apakah ini memiliki dua akar yang berbeda d₁ dan d₂, dapat difaktorkan sebagai (x-d)₁) (x-d)₂).

Jika Anda hanya memiliki satu root d, Anda dapat memfaktorkannya sebagai (x-d) (x-d) = (x-d)², dan jika tidak memiliki akar yang nyata, itu tetap sama; dalam hal ini tidak mendukung faktorisasi sebagai produk dari faktor selain itu sendiri.

Ini berarti bahwa, mengetahui akar suatu trinomial dari bentuk yang sudah mapan, faktorisasi dapat dengan mudah diekspresikan, dan sebagaimana telah disebutkan, akar-akar ini selalu dapat ditentukan dengan menggunakan solusi..

Namun, ada sejumlah besar jenis trinomi yang dapat difaktorkan tanpa harus mengetahui akarnya sebelumnya, yang menyederhanakan pekerjaan.

Akar dapat ditentukan secara langsung dari faktorisasi tanpa perlu menggunakan rumus resolver; ini adalah polinomial dari bentuk x² +(a + b) x + ab. Dalam hal ini Anda memiliki:

x²+(a + b) x + ab = x²+kapak + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Dari sini mudah diamati bahwa akarnya adalah -a dan -b.

Dengan kata lain, diberi trinomial x²+bx + c, jika ada dua angka u dan v sehingga c = uv dan b = u + v, maka x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Artinya, diberi trinomial x²+bx + c, pertama-tama verifikasi apakah ada dua angka yang dikalikan den istilah independen (c) dan ditambahkan (atau kurangi, tergantung pada kasus), berikan istilah yang menyertai x (b).

Tidak dengan semua trinomial dengan cara ini metode ini dapat diterapkan; di mana Anda tidak bisa, Anda pergi ke resolvent dan menerapkan yang disebutkan di atas.

Contohnya

Contoh 1

Untuk faktor trinomial berikut x²+3x + 2 kita lanjutkan sebagai berikut:

Anda harus menemukan dua angka sehingga ketika Anda menambahkannya, hasilnya adalah 3, dan ketika Anda mengalikannya, hasilnya adalah 2.

Setelah melakukan inspeksi dapat disimpulkan bahwa angka yang dicari adalah: 2 dan 1. Oleh karena itu, x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Contoh 2

Untuk faktor trinomial x²-5x + 6 kita mencari dua angka yang jumlah -5 dan produknya adalah 6. Angka-angka yang memenuhi kedua kondisi ini adalah -3 dan -2. Oleh karena itu, faktorisasi dari trinomial yang diberikan adalah x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referensi

1. Sumber, A. (2016). MATEMATIKA DASAR. Pengantar Perhitungan. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: persamaan kuadrat: Cara memecahkan persamaan kuadrat. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematika untuk administrasi dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang batas.
5. Preciado, C. T. (2005). Kursus Matematika 3o. Progreso Editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Aljabar I Mudah! Sangat mudah. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Aljabar dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.