Demonstrasi dan Contoh Teorema Binomial

itu teorema binomial adalah persamaan yang memberi tahu kita bagaimana mengembangkan ekspresi bentuk (a + b)ⁿ untuk beberapa bilangan asli n. Binomial tidak lebih dari jumlah dua elemen, seperti (a + b). Ini juga memungkinkan kita untuk mengetahui istilah yang diberikan oleh a^kb^n-k apa koefisien yang menyertainya.

Teorema ini umumnya dikaitkan dengan penemu, fisikawan, dan matematikawan Inggris Sir Isaac Newton; Namun, beberapa catatan telah ditemukan menunjukkan bahwa di Timur Tengah keberadaannya sudah diketahui, sekitar tahun 1000.

Indeks

• 1 angka kombinasi
• 2 Demonstrasi
• 3 Contoh
  • 3.1 Identitas 1
  • 3.2 Identitas 2
• 4 Demonstrasi lain
  • 4.1 Demonstrasi dengan induksi
• 5 Keingintahuan
• 6 Referensi

Angka kombinasi

Teorema binomial memberi tahu kita secara matematis berikut ini:

Dalam ungkapan ini a dan b adalah bilangan real dan n adalah bilangan alami.

Sebelum memberikan demonstrasi, mari kita lihat beberapa konsep dasar yang diperlukan.

Angka kombinatorial atau kombinasi n dalam k dinyatakan sebagai berikut:

Bentuk ini menyatakan nilai berapa banyak himpunan bagian dengan elemen k dapat dipilih dari set n elemen. Ekspresi aljabarnya diberikan oleh:

Mari kita lihat sebuah contoh: misalkan kita memiliki kelompok tujuh bola, yang dua berwarna merah dan sisanya berwarna biru.

Kami ingin tahu berapa banyak cara kami dapat memesannya secara berurutan. Salah satu cara bisa dengan menempatkan dua merah di posisi pertama dan kedua, dan sisa bola di posisi yang tersisa.

Mirip dengan kasus sebelumnya, kita bisa memberikan bola merah posisi pertama dan terakhir masing-masing, dan menempati yang lain dengan bola biru.

Sekarang, cara yang efektif untuk menghitung berapa banyak cara kita memesan bola secara berurutan adalah dengan menggunakan angka kombinatorial. Kita dapat melihat setiap posisi sebagai elemen dari set berikut:

Selanjutnya hanya perlu memilih subset dari dua elemen, di mana masing-masing elemen ini mewakili posisi bahwa bola merah akan menempati. Kita dapat membuat pilihan ini sesuai dengan hubungan yang diberikan oleh:

Dengan cara ini, ada 21 cara untuk menyortir bola seperti itu.

Ide umum dari contoh ini akan sangat berguna dalam demonstrasi teorema binomial. Mari kita lihat kasus tertentu: jika n = 4, kita punya (a + b)⁴, yang tidak lebih dari:

Ketika kami mengembangkan produk ini, kami memiliki jumlah persyaratan yang diperoleh dengan mengalikan elemen dari masing-masing empat faktor (a + b). Dengan demikian, kita akan memiliki istilah yang berupa:

Jika kami ingin mendapatkan formulir untuk⁴, kalikan saja dengan cara berikut:

Perhatikan bahwa hanya ada satu cara untuk mendapatkan elemen ini; tetapi apa yang terjadi jika kita sekarang mencari istilah untuk²b²? Karena "a" dan "b" adalah bilangan real dan, oleh karena itu, hukum komutatif valid, kami memiliki cara untuk memperoleh istilah ini adalah dengan mengalikan dengan anggota seperti yang ditunjukkan oleh panah..

Melakukan semua operasi ini biasanya agak membosankan, tetapi jika kita melihat istilah "a" sebagai kombinasi di mana kita ingin tahu berapa banyak cara kita dapat memilih dua "a" dari serangkaian empat faktor, kita dapat menggunakan ide dari contoh sebelumnya. Jadi, kami memiliki yang berikut:

Jadi, kita tahu bahwa dalam pengembangan akhir dari ekspresi (a + b)⁴ kita akan memiliki tepat 6a²b². Menggunakan ide yang sama untuk elemen lain, Anda harus:

Kemudian kami menambahkan ekspresi yang diperoleh sebelumnya dan kami harus:

Ini adalah demonstrasi formal untuk kasus umum di mana "n" adalah bilangan asli.

Demonstrasi

Perhatikan bahwa istilah yang tersisa saat berkembang (a + b)ⁿ adalah dari bentuk untuk^kb^n-k, di mana k = 0,1, ..., n. Menggunakan ide dari contoh sebelumnya, kita memiliki cara untuk memilih variabel "k" "a" dari faktor "n" adalah:

Dengan memilih dengan cara ini, kita secara otomatis memilih variabel n-k "b". Dari sini dapat disimpulkan bahwa:

Contohnya

Mempertimbangkan (a + b)⁵, Apa yang akan perkembangannya?

Dengan teorema binomial kita harus:

Teorema binomial sangat berguna jika kita memiliki ekspresi di mana kita ingin tahu apa koefisien dari suatu istilah tertentu tanpa harus melakukan pengembangan penuh. Sebagai contoh, kita dapat mengambil pertanyaan berikut: berapakah koefisien x⁷dan⁹ dalam pengembangan (x + y)¹⁶?

Dengan teorema binomial, kita mendapatkan bahwa koefisiennya adalah:

Contoh lain adalah: berapa koefisien x⁵dan⁸ dalam pengembangan (3x-7y)¹³?

Pertama kita menulis ulang ekspresi dengan cara yang mudah; ini adalah:

Kemudian, menggunakan teorema binomial, kita mendapatkan bahwa koefisien yang diinginkan adalah ketika kita memiliki k = 5

Contoh lain dari penggunaan teorema ini adalah dalam demonstrasi beberapa identitas umum, seperti yang disebutkan di bawah ini.

Identitas 1

Jika "n" adalah bilangan alami, kita harus:

Untuk demonstrasi kita menggunakan teorema binomial, di mana "a" dan "b" mengambil nilai 1. Kemudian kita memiliki:

Dengan cara ini kami telah membuktikan identitas pertama.

Identitas 2

Jika "n" adalah bilangan alami, maka

Dengan teorema binomial kita harus:

Demonstrasi lain

Kita dapat membuat demonstrasi yang berbeda untuk teorema binomial menggunakan metode induktif dan identitas pascal, yang memberitahu kita bahwa jika "n" dan "k" adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n ≥ k, maka:

Demonstrasi dengan induksi

Pertama mari kita lihat bahwa basis induktif terpenuhi. Jika n = 1, kita harus:

Memang, kita melihat itu terpenuhi. Sekarang, biarkan n = j sehingga terpenuhi:

Kami ingin melihat bahwa untuk n = j + 1 terpenuhi bahwa:

Jadi, kita harus:

Dengan hipotesis kita tahu bahwa:

Kemudian, menggunakan properti distributif:

Selanjutnya, kembangkan masing-masing penjumlahan yang kita miliki:

Sekarang, jika kita mengelompokkan bersama dengan cara yang nyaman, kita harus:

Menggunakan identitas pascal, kita harus:

Akhirnya, perhatikan bahwa:

Oleh karena itu, kita melihat bahwa teorema binomial terpenuhi untuk semua "n" milik bilangan asli, dan dengan ini tes berakhir.

Keingintahuan

Angka kombinatorial (nk) juga disebut koefisien binomial karena justru koefisien yang muncul dalam pengembangan binomial (a + b)ⁿ.

Isaac Newton memberikan generalisasi teorema ini untuk kasus di mana eksponen adalah bilangan real; teorema ini dikenal sebagai teorema binomial Newton.

Sudah di jaman dahulu hasil ini dikenal untuk kasus tertentu di mana n = 2. Kasus ini disebutkan dalam Elemen dari Euclides.

Referensi

1. Johnsonbaugh Richard. Matematika Terpisah PHH
2. Kenneth. H. Rosen, Matematika Terpisah dan Penerapannya. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matematika Terpisah. McGraw-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Matematika Diskrit dan Kombinasi. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Matematika Terpisah dan Combinatoria.Anthropos