Properti Kesetaraan

itu sifat kesetaraan mereka merujuk pada hubungan antara dua objek matematika, baik angka atau variabel. Itu dilambangkan dengan simbol "=", yang selalu berjalan di antara dua objek ini. Ungkapan ini digunakan untuk menetapkan bahwa dua objek matematika mewakili objek yang sama; dengan kata lain, kedua benda itu adalah hal yang sama.

Ada beberapa kasus di mana sepele untuk menggunakan kesetaraan. Sebagai contoh, jelas bahwa 2 = 2. Namun, ketika datang ke variabel itu tidak lagi sepele dan memiliki kegunaan khusus. Misalnya, jika Anda memiliki y = x dan di sisi lain x = 7, Anda dapat menyimpulkan bahwa y = 7 juga.

Contoh sebelumnya didasarkan pada salah satu sifat kesetaraan, seperti yang akan segera dilihat. Properti ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan (persamaan yang melibatkan variabel), yang membentuk bagian yang sangat penting dalam matematika.

Indeks

• 1 Apa sifat-sifat kesetaraan?
  • 1.1 Properti reflektif
  • 1.2 Properti simetris
  • 1.3 Properti transitif
  • 1.4 Properti seragam
  • 1.5 Pembatalan properti
  • 1.6 Properti penggantian
  • 1.7 Properti kekuasaan dalam kesetaraan
  • 1.8 Properti dari akar dalam kesetaraan
• 2 Referensi

Apa saja sifat persamaannya??

Properti reflektif

Properti reflektif, dalam kasus kesetaraan, menyatakan bahwa setiap bilangan sama dengan dirinya sendiri dan dinyatakan sebagai b = b untuk bilangan real apa pun b.

Dalam kasus kesetaraan tertentu, sifat ini tampaknya jelas, tetapi dalam jenis hubungan lain antara angka-angka tidak. Dengan kata lain, tidak setiap hubungan bilangan real memenuhi properti ini. Misalnya, kasus hubungan "kurang dari" (<); ningún número es menor que sí mismo.

Properti simetris

Properti simetris untuk kesetaraan mengatakan bahwa jika a = b, maka b = a. Tidak peduli urutan apa yang digunakan dalam variabel, ini akan dipertahankan oleh hubungan kesetaraan.

Analogi tertentu dari properti ini dapat diamati dengan properti komutatif dalam hal penambahan. Sebagai contoh, karena properti ini sama dengan menulis y = 4 atau 4 = y.

Properti transitif

Properti transitif dalam persamaan menyatakan bahwa jika a = b dan b = c, maka a = c. Sebagai contoh, 2 + 7 = 9 dan 9 = 6 + 3; oleh karena itu, oleh properti transitif kita memiliki 2 + 7 = 6 + 3.

Aplikasi sederhana adalah sebagai berikut: misalkan Julian berusia 14 tahun dan Mario seusia dengan Rosa. Jika Rosa seusia dengan Julian, berapa umur Mario??

Di belakang skenario ini, properti transitif digunakan dua kali. Secara matematis itu ditafsirkan seperti ini: menjadi "a" zaman Mario, "b" zaman Rosa dan "c" zaman Julian. Diketahui bahwa b = c dan c = 14.

Untuk properti transitif, kami memiliki b = 14; yaitu, Rosa berusia 14 tahun. Karena a = b dan b = 14, menggunakan lagi properti transitif kami memiliki a = 14; artinya, usia Mario juga 14 tahun.

Properti seragam

Properti seragam adalah bahwa, jika kedua sisi kesetaraan ditambahkan atau dikalikan dengan jumlah yang sama, kesetaraan dipertahankan. Misalnya, jika 2 = 2, maka 2 + 3 = 2 + 3, yang jelas, maka 5 = 5. Properti ini memiliki lebih banyak kegunaan ketika datang untuk menyelesaikan persamaan.

Misalnya, Anda diminta menyelesaikan persamaan x-2 = 1. Lebih mudah untuk mengingat bahwa menyelesaikan suatu persamaan terdiri dari menentukan secara eksplisit variabel (atau variabel) yang terlibat, berdasarkan pada jumlah tertentu atau variabel yang ditentukan sebelumnya.

Kembali ke persamaan x-2 = 1, yang harus dilakukan adalah menemukan secara eksplisit berapa nilai x. Untuk melakukan ini, variabel harus dihapus.

Telah diajarkan secara keliru bahwa dalam kasus ini, karena angka 2 negatif, ia berpindah ke sisi lain kesetaraan dengan tanda positif. Tetapi tidak benar mengatakannya seperti itu.

Pada dasarnya, apa yang dilakukan adalah menerapkan properti seragam, seperti yang akan kita lihat di bawah. Idenya adalah untuk menghapus "x"; yaitu, biarkan saja di satu sisi persamaan. Dengan konvensi biasanya dibiarkan di kiri.

Untuk tujuan ini, angka yang ingin Anda "hilangkan" adalah -2. Cara untuk melakukannya adalah menambahkan 2, karena -2 + 2 = 0 dan x + 0 = 0. Untuk dapat melakukan ini tanpa mengubah kesetaraan, operasi yang sama harus diterapkan di sisi lain.

Ini memungkinkan properti seragam direalisasikan: karena x-2 = 1, jika angka 2 ditambahkan di kedua sisi kesetaraan, properti seragam mengatakan bahwa hal yang sama tidak diubah. Kemudian kita memiliki x-2 + 2 = 1 + 2, yang setara dengan mengatakan bahwa x = 3. Dengan ini persamaan akan terpecahkan.

Demikian pula, jika Anda ingin menyelesaikan persamaan (1/5) y-1 = 9, Anda dapat melanjutkan menggunakan properti seragam sebagai berikut:

Secara umum, pernyataan berikut dapat dibuat:

- Jika a-b = c-b, maka a = c.

- Jika x-b = y, maka x = y + b.

- Jika (1 / a) z = b, maka z = a ×

- Jika (1 / c) a = (1 / c) b, maka a = b.

Properti pembatalan

Properti yang dibatalkan adalah kasus kepemilikan yang seragam, khususnya yang mempertimbangkan kasus pengurangan dan pembagian (yang, pada akhirnya, juga sesuai dengan penambahan dan penggandaan). Properti ini memperlakukan kasus ini secara terpisah.

Misalnya, jika 7 + 2 = 9, maka 7 = 9-2. Atau jika 2y = 6, maka y = 3 (membaginya dengan dua di kedua sisi).

Secara analog dengan kasus sebelumnya, melalui properti pembatalan, pernyataan berikut dapat dibuat:

- Jika a + b = c + b, maka a = c.

- Jika x + b = y, maka x = y-b.

- Jika az = b, maka z = b / a.

- Jika ca = cb, maka a = b.

Properti pengganti

Jika kita mengetahui nilai objek matematika, properti substitusi menyatakan bahwa nilai ini dapat diganti dalam persamaan atau ekspresi apa pun. Misalnya, jika b = 5 dan a = bx, maka mengganti nilai "b" dalam persamaan kedua, kita memiliki bahwa a = 5x.

Contoh lain adalah sebagai berikut: jika "m" membagi "n" dan juga "n" membagi "m", maka m = n.

Akibatnya, untuk mengatakan bahwa "m" membagi "n" (atau setara, bahwa "m" adalah pembagi "n") berarti bahwa pembagian m ÷ n adalah tepat; yaitu, dengan membagi "m" dengan "n" Anda mendapatkan bilangan bulat, bukan angka desimal. Ini dapat diekspresikan dengan mengatakan bahwa ada bilangan bulat "k" sehingga m = k × n.

Karena "n" juga membagi "m", maka ada bilangan bulat "p" sehingga n = p × m. Untuk properti substitusi, kita memiliki n = p × k × n, dan agar ini terjadi ada dua kemungkinan: n = 0, dalam hal ini kita akan memiliki identitas 0 = 0; atau p × k = 1, di mana identitas harus n = n.

Misalkan "n" bukan nol. Maka tentu saja p × k = 1; oleh karena itu, p = 1 dan k = 1. Dengan menggunakan lagi properti substitusi, ketika mengganti k = 1 dalam persamaan m = k × n (atau ekuivalen, p = 1 di n = p × m), akhirnya diperoleh bahwa m = n, yang merupakan apa yang ingin ditunjukkan..

Kepemilikan kekuasaan dalam kesetaraan

Seperti yang sebelumnya terlihat bahwa jika suatu operasi dilakukan sebagai penjumlahan, penggandaan, pengurangan atau pembagian dalam kedua hal kesetaraan, itu dipertahankan, dengan cara yang sama operasi lain dapat diterapkan yang tidak mengubah kesetaraan.

Kuncinya adalah untuk selalu melakukannya di kedua sisi kesetaraan dan memastikan terlebih dahulu bahwa operasi dapat dilakukan. Seperti itulah kasus pemberdayaan; yaitu, jika kedua sisi persamaan dinaikkan ke kekuatan yang sama, masih ada persamaan.

Misalnya, sebagai 3 = 3, maka 3²= 3² (9 = 9). Secara umum, diberi bilangan bulat "n", jika x = y, maka xⁿ= yⁿ.

Properti akar dalam persamaan

Ini adalah kasus potensiasi tertentu dan diterapkan ketika daya adalah bilangan rasional non-integer, seperti ½, yang mewakili akar kuadrat. Properti ini menyatakan bahwa jika akar yang sama diterapkan di kedua sisi kesetaraan (jika memungkinkan), kesetaraan dipertahankan.

Berbeda dengan kasus sebelumnya, di sini Anda harus berhati-hati dengan paritas akar yang akan diterapkan, karena diketahui bahwa akar genap dari angka negatif tidak didefinisikan dengan baik.

Dalam hal radikal itu genap, tidak ada masalah. Misalnya, jika x³= -8, meskipun itu adalah persamaan, Anda tidak dapat menerapkan akar kuadrat di kedua sisi, misalnya. Namun, jika Anda bisa menerapkan akar kubik (yang bahkan lebih nyaman jika Anda ingin secara eksplisit mengetahui nilai x), dapatkan bahwa x = -2.

Referensi

1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, Perangkat, dan Angka. Mérida - Venezuela: Dewan Publikasi, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang batas.
3. Lira, M. L. (1994). Simon dan Matematika: Teks matematika untuk tahun dasar kedua: buku siswa. Andres Bello.
4. Preciado, C. T. (2005). Kursus Matematika 3o. Progreso Editorial.
5. Segovia, B. R. (2012). Kegiatan dan permainan matematika dengan Miguel dan Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Kursus Matematika ke-2. Progreso Editorial.