Penjelasan produk dan latihan penting diselesaikan



itu produk luar biasa mereka adalah operasi aljabar, di mana perkalian polinomial dinyatakan, yang tidak perlu diselesaikan secara tradisional, tetapi dengan bantuan aturan tertentu Anda dapat menemukan hasilnya.

Polinomial dikalikan sendiri, oleh karena itu mereka mungkin memiliki sejumlah besar syarat dan variabel. Untuk mempersingkat proses, aturan-aturan produk yang luar biasa digunakan, yang memungkinkan penggandaan dilakukan tanpa harus melalui ketentuan..

Indeks

  • 1 Produk dan contoh terkenal
    • 1.1 Binomial kuadrat
    • 1.2 Produk dari binomial terkonjugasi
    • 1.3 Produk dari dua binomial dengan istilah umum
    • 1.4 Polinomial kuadrat
    • 1,5 Binomial ke kubus
    • 1.6 Ember trinomial
  • 2 Latihan dipecahkan untuk produk luar biasa
    • 2.1 Latihan 1
    • 2.2 Latihan 2
  • 3 Referensi

Produk dan contoh terkenal

Setiap produk luar biasa adalah formula yang dihasilkan dari faktorisasi, terdiri dari polinomial dari berbagai istilah seperti binomial atau trinomial, yang disebut faktor.

Faktor-faktor adalah dasar dari suatu kekuatan dan memiliki eksponen. Ketika faktor-faktor berlipat ganda, eksponen harus ditambahkan.

Ada beberapa formula produk yang luar biasa, beberapa lebih banyak digunakan daripada yang lain, tergantung pada polinomial, dan mereka adalah sebagai berikut:

Binomial kuadrat

Ini adalah penggandaan binomial dengan sendirinya, dinyatakan dalam bentuk kekuatan, di mana istilah ditambahkan atau dikurangi:

a. Binomial dari jumlah ke kotak: sama dengan kuadrat dari suku pertama, ditambah dua kali produk dari ketentuan, ditambah kuadrat dari suku kedua. Itu diungkapkan sebagai berikut:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Gambar berikut menunjukkan bagaimana produk dikembangkan sesuai dengan aturan yang disebutkan di atas. Hasilnya disebut trinomial dari kotak yang sempurna.

Contoh 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Contoh 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomial dari pengurangan yang dikuadratkan: aturan yang sama berlaku untuk binomial dari jumlah, hanya saja dalam hal ini suku kedua adalah negatif. Formulanya adalah sebagai berikut:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Contoh 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produk dari binomial terkonjugasi

Dua binomial terkonjugasi ketika suku kedua masing-masing memiliki tanda yang berbeda, yaitu, yang pertama positif dan negatif kedua atau sebaliknya. Pecahkan dengan menaikkan setiap kotak monomy dan kurangi. Formulanya adalah sebagai berikut:

(a + b) * (a - b)

Pada gambar berikut produk dari dua binomial terkonjugasi dikembangkan, di mana diamati bahwa hasilnya adalah perbedaan kuadrat.

Contoh 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Produk dari dua binomial dengan istilah umum

Ini adalah salah satu produk luar biasa yang paling kompleks dan sedikit digunakan karena merupakan perkalian dua binomial yang memiliki istilah umum. Aturan menunjukkan hal berikut:

  • Kuadrat dari istilah umum.
  • Plus tambahkan istilah yang tidak umum dan kemudian kalikan dengan istilah umum.
  • Ditambah jumlah perkalian dari istilah yang tidak umum.

Itu direpresentasikan dalam rumus: (x + a) * (x + b) dan dikembangkan seperti yang ditunjukkan pada gambar. Hasilnya trinomial persegi tidak sempurna.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Ada kemungkinan bahwa istilah kedua (istilah berbeda) negatif dan rumusnya adalah sebagai berikut: (x + a) * (x - b).

Contoh 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Bisa juga terjadi bahwa kedua istilah yang berbeda adalah negatif. Formulanya adalah: (x - a) * (x - b).

Contoh 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Polinomial persegi

Dalam hal ini ada lebih dari dua istilah dan untuk mengembangkannya, masing-masing kuadrat dan ditambahkan bersama dengan dua kali lipat dari satu istilah dengan yang lain; formulanya adalah: (a + b + c)2 dan hasil operasi adalah trinomial kuadrat.

Contoh 1

(3x + 2thn + 4z)2 = (3x)2 + (2thn)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2thn + 4z)2 = 9x2 + 4thn2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial ke kubus

Ini adalah produk kompleks yang luar biasa. Untuk mengembangkannya, gandakan binomial dengan kuadratnya, dengan cara berikut:

a. Untuk binomial ke kubus jumlah:

  • Kubus dari suku pertama, ditambah tiga kuadrat dari suku pertama oleh yang kedua.
  • Ditambah tiga kali lipat suku pertama, untuk kuadrat kedua.
  • Ditambah kubus dari istilah kedua.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Contoh 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Untuk binomial ke kubus pengurangan:

  • Kubus dari suku pertama, minus tiga kuadrat dari suku pertama oleh yang kedua.
  • Ditambah tiga kali lipat suku pertama, untuk kuadrat kedua.
  • Kurangi kubus dari istilah kedua.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Contoh 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Ember trinomial

Ini berkembang dengan mengalikannya dengan kuadratnya. Ini adalah produk luar biasa yang sangat luas karena ada 3 istilah yang diangkat ke kubus, ditambah tiga kali setiap istilah kuadrat, dikalikan dengan masing-masing istilah, ditambah enam kali produk dari ketiga istilah tersebut. Terlihat dengan cara yang lebih baik:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Contoh 1

Latihan pemecahan produk luar biasa

Latihan 1

Kembangkan binomial berikut ke kubus: (4x - 6)3.

Solusi

Mengingat bahwa binomial ke kubus sama dengan suku pertama yang dinaikkan ke kubus, dikurangi tiga kali lipat kuadrat dari suku pertama dengan yang kedua; ditambah rangkap tiga dari suku pertama, pada kuadrat kedua, dikurangi kubus dari suku kedua.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Latihan 2

Kembangkan binomial berikut: (x + 3) (x + 8).

Solusi

Ada binomial di mana ada istilah umum, yaitu x dan suku kedua adalah positif. Untuk mengembangkannya Anda hanya perlu menguadratkan istilah umum, ditambah jumlah dari istilah yang tidak umum (3 dan 8) dan kemudian mengalikannya dengan istilah umum, ditambah jumlah dari penggandaan istilah yang tidak umum.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

Referensi

  1. Angel, A. R. (2007). Aljabar Dasar. Pendidikan Pearson,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
  3. Das, S. (s.f.). Matematika Plus 8. Inggris Raya: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Aljabar Dasar dan Menengah: Suatu Pendekatan Gabungan. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pendidikan Pearson.