Sejarah Geometri Euclidean, Konsep Dasar dan Contoh

itu Geometri Euclidean sesuai dengan studi tentang sifat-sifat ruang geometris di mana aksioma Euclid dipenuhi. Sementara istilah ini kadang-kadang digunakan untuk mencakup geometri yang memiliki dimensi superior dengan sifat yang serupa, biasanya identik dengan geometri klasik atau geometri datar..

Pada abad ketiga a. C. Euclid dan para muridnya menulis Elemen, sebuah karya yang mencakup pengetahuan matematika pada masa itu yang dianugerahi struktur logis-deduktif. Sejak itu, geometri telah menjadi ilmu, awalnya untuk memecahkan masalah klasik dan telah berkembang menjadi ilmu formatif yang membantu untuk alasan.

Indeks

• 1 Sejarah
• 2 konsep dasar
  • 2.1 Gagasan umum
  • 2.2 Postulat atau aksioma
• 3 Contoh
  • 3.1 Contoh pertama
  • 3.2 Contoh kedua
  • 3.3 Contoh ketiga
• 4 Referensi

Sejarah

Untuk berbicara tentang sejarah geometri Euclidean, penting untuk memulai dengan Euclid dari Alexandria dan Elemen.

Ketika Mesir ada di tangan Ptolemy I, setelah kematian Alexander the Great, ia memulai proyeknya di sebuah sekolah di Alexandria..

Di antara orang bijak yang mengajar di sekolah adalah Euclid. Diperkirakan bahwa tanggal kelahirannya sekitar 325 a. Dan kematiannya pada 265 a. C. Kita dapat mengetahui dengan pasti bahwa dia pergi ke sekolah Plato.

Selama lebih dari tiga puluh tahun Euclid mengajar di Alexandria, membangun elemen-elemen terkenalnya: ia mulai menulis deskripsi lengkap tentang matematika pada masanya. Ajaran Euclid menghasilkan murid-murid yang sangat baik, seperti Archimedes dan Apollonius dari Perga.

Euclid bertanggung jawab untuk menyusun penemuan yang berbeda dari orang-orang Yunani klasik di Eropa Elemen, tetapi tidak seperti pendahulunya itu tidak membatasi dirinya untuk menegaskan bahwa teorema itu benar; Euclides menawarkan demonstrasi.

itu Elemen Mereka adalah ringkasan dari tiga belas buku. Setelah Alkitab, itu adalah buku yang paling banyak diterbitkan, dengan lebih dari seribu edisi.

itu Elemen adalah karya Euclid di bidang geometri, dan menawarkan perawatan definitif geometri dua dimensi (bidang) dan tiga dimensi (ruang), ini menjadi asal dari apa yang sekarang kita kenal sebagai geometri Euclidean.

Konsep dasar

Unsur-unsur terdiri dari definisi, pengertian umum dan postulat (atau aksioma) diikuti oleh teorema, konstruksi dan demonstrasi.

- Poinnya adalah apa yang tidak memiliki bagian.

- Garis adalah panjang yang tidak memiliki lebar.

- Garis lurus adalah garis yang terletak sama dalam hubungannya dengan titik-titik yang ada di sini.

- Jika dua garis dipotong sehingga sudut-sudut yang berdekatan sama, sudut-sudutnya disebut lurus dan garis-garis itu disebut tegak lurus..

- Garis paralel adalah garis yang berada di bidang yang sama, tidak pernah terpotong.

Setelah definisi ini dan lainnya, Euclid menyajikan daftar lima postulat dan lima pengertian.

Gagasan umum

- Dua hal yang sama dengan yang ketiga, sama untuk satu sama lain.

- Jika hal-hal yang sama ditambahkan ke hal yang sama, hasilnya sama.

- Jika hal-hal yang sama dikurangi dari hal yang sama, hasilnya sama.

- Hal-hal yang cocok satu sama lain sama satu sama lain.

- Totalnya lebih besar dari satu bagian.

Postulat atau aksioma

- Untuk dua titik berbeda satu dan hanya satu garis yang dilewati.

- Garis lurus dapat memanjang tanpa batas.

- Anda dapat menggambar lingkaran dengan pusat dan radius apa pun.

- Sudut kanan semua sama.

- Jika garis lurus memotong dua garis lurus sehingga sudut internal sisi yang sama bertambah hingga kurang dari dua sudut kanan, maka kedua garis akan berpotongan di sisi itu..

Postulat terakhir ini dikenal sebagai postulat paralel dan dirumuskan ulang sebagai berikut: "Untuk titik di luar garis, Anda dapat menggambar satu paralel dengan garis yang diberikan".

Contohnya

Selanjutnya, beberapa teorema dari Elemen mereka akan berfungsi untuk menunjukkan sifat-sifat ruang geometris di mana lima postulat Euclid terpenuhi; Selain itu, mereka akan mengilustrasikan penalaran logis-deduktif yang digunakan oleh ahli matematika ini.

Contoh pertama

Proposisi 1.4. (LAL)

Jika dua segitiga memiliki dua sisi dan sudut di antara keduanya sama, maka sisi lainnya dan sudut lainnya sama.

Demonstrasi

Biarkan ABC dan A'B'C 'menjadi dua segitiga dengan AB = A'B', AC = A'C 'dan sudut BAC dan B'A'C' sama. Pindah ke segitiga A'B'C 'sehingga A'B' bertepatan dengan AB dan sudut itu B'A'C 'bertepatan dengan sudut BAC.

Kemudian, garis A'C 'bertepatan dengan garis AC, sehingga C' bertepatan dengan C. Kemudian, dengan dalil 1, garis BC harus bertepatan dengan garis B'C '. Oleh karena itu kedua segitiga bertepatan dan, akibatnya, sudut dan sisi mereka sama.

Contoh kedua

Proposisi 1.5. (Pons Asinorum)

Jika sebuah segitiga memiliki dua sisi yang sama, maka sudut yang berseberangan dengan sisi yang sama.

Demonstrasi

Misalkan segitiga ABC memiliki sisi yang sama AB dan AC.

Kemudian, segitiga ABD dan ACD memiliki dua sisi yang sama dan sudut di antara keduanya sama. Jadi, dengan proposisi 1.4, sudut ABD dan ACD adalah sama.

Contoh ketiga

Proposisi 1.31

Anda dapat membangun garis yang sejajar dengan garis yang diberikan oleh titik tertentu.

KONSTRUKSI

Diberi garis L dan titik P, garis lurus M ditarik yang melewati P dan memotong ke L. Kemudian garis lurus N ditarik oleh P yang memotong ke L. Sekarang, kita melacak dengan P a N lurus yang memotong ke M, membentuk sudut sama dengan apa yang L bentuk dengan M.

Peneguhan

N sejajar dengan L.

Demonstrasi

Misalkan L dan N tidak sejajar dan berpotongan pada titik A. Misalkan B menjadi titik pada L di luar A. Pertimbangkan garis O melewati B dan P. Kemudian, O potong ke M membentuk sudut yang menambahkan kurang dari dua lurus.

Kemudian, dengan 1,5 garis O harus memotong ke garis L di sisi lain M, sehingga L dan O berpotongan pada dua titik, yang bertentangan dengan dalil 1. Oleh karena itu, L dan N harus sejajar.

Referensi

1. Euclid. Elemen Geometri. Universitas Otonomi Nasional Meksiko
2. Euclid Enam buku pertama dan elemen kesebelas dan kedua belas Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik dan sejarah geometri Euclidean. Grup Editorial Iberoamerika
4. K.Ribnikov. Sejarah Matematika Editorial Mir
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Editorial Venezuela C.A.