Turunan aljabar (dengan contoh)

itu turunan aljabar mereka terdiri dalam studi turunan dalam kasus fungsi aljabar tertentu. Asal usul gagasan turunan kembali ke Yunani Kuno. Perkembangan gagasan ini dimotivasi oleh kebutuhan untuk menyelesaikan dua masalah penting, satu dalam fisika dan lainnya dalam matematika.

Dalam fisika, turunan memecahkan masalah menentukan kecepatan sesaat dari objek yang bergerak. Dalam matematika, Anda dapat menemukan garis singgung ke kurva pada titik tertentu.

Meskipun ada banyak masalah yang diselesaikan dengan menggunakan turunan, serta generalisasi, hasil yang muncul setelah pengenalan konsepnya..

Pelopor kalkulus diferensial adalah Newton dan Leibniz. Sebelum memberikan definisi formal, kami akan mengembangkan ide di belakang, dari sudut pandang matematika dan fisik.

Indeks

• 1 Derivatif sebagai kemiringan garis tangen ke kurva
• 2 Derivatif sebagai kecepatan sesaat dari objek yang bergerak
  • 2.1 Fungsi aljabar
• 3 Aturan derivasi
  • 3.1 Berasal dari konstanta
  • 3.2 Turunan dari suatu kekuatan
  • 3.3 Berasal dari penjumlahan dan pengurangan
  • 3.4 Turunan dari suatu produk
  • 3.5 Berasal dari hasil bagi
  • 3.6. Aturan rantai
• 4 Referensi

Derivatif sebagai kemiringan garis singgung ke kurva

Misalkan grafik fungsi y = f (x) adalah grafik kontinu (tanpa puncak atau simpul atau pemisahan), dan biarkan A = (a, f (a)) menjadi titik tetap di atasnya. Kami ingin menemukan persamaan garis singgung dengan grafik fungsi f pada titik A.

Ambil titik P lainnya (x, f (x)) dari grafik, dekat dengan titik A, dan gambar garis potong yang melewati A dan P. Garis potong adalah garis yang memotong grafik kurva dalam satu atau lebih banyak poin.

Untuk mendapatkan garis singgung yang kita inginkan, kita hanya perlu menghitung kemiringan karena kita sudah memiliki titik pada garis: titik A.

Jika kita memindahkan titik P di sepanjang grafik dan membawanya semakin dekat ke titik A, garis potong yang disebutkan di atas akan mendekati garis singgung yang ingin kita temukan. Mengambil batas ketika "P cenderung ke A", kedua garis akan bertepatan, oleh karena itu kemiringannya juga.

Kemiringan garis potong diberikan oleh

Mengatakan bahwa P mendekati A sama dengan mengatakan bahwa "x" mendekati "a". Dengan demikian, kemiringan garis singgung ke grafik f pada titik A, akan sama dengan:

Ungkapan di atas dilambangkan dengan f '(a), dan didefinisikan sebagai turunan dari fungsi f pada titik "a". Kita melihat kemudian bahwa secara analitik, turunan dari suatu fungsi dalam suatu titik adalah batas, tetapi secara geometris, itu adalah kemiringan garis yang bersinggungan dengan grafik fungsi pada titik tersebut..

Sekarang kita akan melihat gagasan ini dari sudut pandang fisika. Kita akan sampai pada ekspresi yang sama dari batas sebelumnya, meskipun dengan cara yang berbeda, memperoleh kebulatan suara dari definisi tersebut.

Derivatif sebagai kecepatan sesaat dari objek yang bergerak

Mari kita lihat contoh singkat tentang apa artinya kecepatan instan. Ketika dikatakan, misalnya, bahwa mobil untuk mencapai tujuan melakukannya dengan kecepatan 100 km per jam, yang berarti bahwa dalam satu jam ia menempuh jarak 100 km.

Ini tidak selalu berarti bahwa selama satu jam penuh mobil itu selalu berjarak 100 km, spidometer mobil dalam beberapa saat bisa menandakan kurang atau lebih. Jika dia harus berhenti di lampu lalu lintas, kecepatan pada saat itu adalah 0 km. Namun, setelah satu jam, rute itu 100 km.

Inilah yang dikenal sebagai kecepatan rata-rata dan diberikan oleh hasil bagi dari jarak yang ditempuh antara waktu yang telah berlalu, seperti yang baru saja kita lihat. Kecepatan sesaat, di sisi lain, adalah yang menandai jarum speedometer mobil dalam sekejap (waktu) yang ditentukan.

Mari kita lihat ini sekarang secara lebih umum. Misalkan suatu objek bergerak sepanjang garis dan bahwa perpindahan ini diwakili oleh persamaan s = f (t), di mana variabel t mengukur waktu dan variabel s perpindahan, dengan mempertimbangkan permulaannya dalam instan t = 0, pada saat itu juga nol, yaitu, f (0) = 0.

Fungsi ini f (t) dikenal sebagai fungsi posisi.

Ekspresi dicari untuk kecepatan sesaat dari objek pada instan tetap "a". Pada kecepatan ini kita akan menyatakannya dengan V (a).

Biarkan t menjadi instan dekat dengan "a" instan. Dalam interval waktu antara "a" dan "t", perubahan posisi objek diberikan oleh f (t) -f (a).

Kecepatan rata-rata dalam interval waktu ini adalah:

Yang merupakan perkiraan kecepatan sesaat V (a). Perkiraan ini akan lebih baik karena t mendekati "a". Oleh karena itu,

Perhatikan bahwa ungkapan ini sama dengan yang diperoleh dalam kasus sebelumnya, tetapi dari perspektif yang berbeda. Inilah yang dikenal sebagai turunan dari fungsi f pada titik "a" dan dilambangkan dengan f '(a), sebagaimana dinyatakan di atas.

Perhatikan bahwa membuat perubahan h = x-a, kita memiliki bahwa ketika "x" cenderung "a", "h" cenderung ke 0, dan batas sebelumnya ditransformasikan (setara) ke:

Kedua ekspresi sama tetapi kadang-kadang lebih baik menggunakan satu daripada yang lain, tergantung pada kasusnya.

Turunan dari fungsi f kemudian didefinisikan secara lebih umum di setiap titik "x" milik domainnya sebagai

Notasi paling umum untuk merepresentasikan turunan dari fungsi y = f (x) adalah yang baru saja kita lihat (f 'o dan'). Namun, notasi lain yang banyak digunakan adalah notasi Leibniz yang direpresentasikan sebagai ekspresi berikut:

Mengingat fakta bahwa turunan pada dasarnya adalah batas, mungkin atau tidak mungkin ada, karena batas tidak selalu ada. Jika ada, dikatakan bahwa fungsi yang dimaksud dapat dibedakan pada titik yang diberikan.

Fungsi aljabar

Fungsi aljabar adalah kombinasi polinomial dengan cara penjumlahan, pengurangan, produk, quotient, kekuatan dan radikal.

Polinomial adalah ekspresi bentuk

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+... + a₂x²+ a₁x + a₀

Di mana n adalah bilangan alami dan semua a_saya, dengan i = 0,1, ..., n, adalah bilangan rasional dan a_n≠ 0 Dalam hal ini dikatakan bahwa derajat polinomial ini adalah n.

Berikut ini adalah contoh fungsi aljabar:

Di sini fungsi eksponensial, logaritmik, dan trigonometri tidak termasuk. Aturan derivasi yang akan kita lihat di bawah ini berlaku untuk fungsi secara umum, tetapi kami akan membatasi diri dan menerapkannya dalam kasus fungsi aljabar.

Lewati aturan

Berasal dari sebuah konstanta

Ini menetapkan bahwa turunan dari konstanta adalah nol. Yaitu, jika f (x) = c, maka f '(x) = 0. Sebagai contoh, turunan dari fungsi konstan 2 sama dengan 0.

Berasal dari kekuatan

Jika f (x) = xⁿ, lalu f '(x) = nx^n-1. Misalnya, turunan dari x³ 3x². Sebagai konsekuensi dari ini, kita memperoleh bahwa turunan dari fungsi identitas f (x) = x adalah f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Contoh lain adalah sebagai berikut: menjadi f (x) = 1 / x², kemudian f (x) = x^-2 dan f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Properti ini juga merupakan root yang valid, karena root adalah kekuatan rasional dan Anda dapat menerapkan hal di atas juga dalam kasus itu. Misalnya, turunan dari akar kuadrat diberikan oleh

Berasal dari jumlah dan pengurangan

Jika f dan g adalah fungsi terdiferensiasi dalam x, maka jumlah f + g juga berbeda dan bahwa (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Secara analog, kita memilikinya (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Dengan kata lain, turunan dari jumlah (pengurangan), adalah jumlah (atau pengurangan) dari derivatif.

Contoh

Jika h (x) = x²+x-1, lalu

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Berasal dari suatu produk

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat dibedakan dalam x, maka produk fg juga dapat dibedakan dalam x dan terpenuhi

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Sebagai konsekuensinya kita memiliki bahwa jika c adalah konstanta dan f adalah fungsi terdiferensiasi dalam x, maka cf juga terdiferensiasi dalam x dan (cf) '(x) = cf' (X).

Contoh

Jika f (x) = 3x (x²+1), lalu

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Berasal dari hasil bagi

Jika f dan g dapat dibedakan dalam x dan g (x) ≠ 0, maka f / g juga dapat dibedakan dalam x, dan memang benar bahwa

Contoh: jika h (x) = x³/ (x²-5x), lalu

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Aturan rantai

Aturan ini memungkinkan derivasi komposisi fungsi. Ini menetapkan sebagai berikut: jika y = f (u) dapat dibedakan dalam u, yu = g (x) dapat dibedakan dalam x, maka fungsi gabungan f (g (x)) dapat dibedakan dalam x, dan yakin bahwa [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Yaitu, turunan dari fungsi komposit adalah produk turunan dari fungsi eksternal (turunan eksternal) oleh turunan dari fungsi internal (turunan internal).

Contoh

Jika f (x) = (x⁴-2x)³, lalu

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Ada juga hasil untuk menghitung turunan dari kebalikan dari fungsi, serta generalisasi ke turunan orde tinggi. Aplikasi sangat luas. Di antara mereka mereka menyoroti utilitas mereka dalam masalah optimasi dan fungsi maksimum dan minimum.

Referensi

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Perhitungan Diferensial. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Perhitungan 4000. Progreso Editorial.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematika sebelum perhitungan. Universitas Medellín.
4. Eduardo, N. A. (2003). Pengantar Perhitungan. Edisi ambang batas.
5. Sumber, A. (2016). MATEMATIKA DASAR. Pengantar Perhitungan. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., & Varberg, D. E. (2007). Perhitungan. Pendidikan Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Perhitungan Diferensial (Ed kedua.) Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Perhitungan: beberapa variabel. Pendidikan Pearson.