Perhitungan Estimasi Menggunakan Diferensial

Perkiraan dalam matematika adalah angka yang bukan nilai pasti dari sesuatu, tetapi sangat dekat dengan itu sehingga dianggap sama bermanfaatnya dengan nilai tepat.

Ketika perkiraan dibuat dalam matematika itu karena secara manual sulit (atau kadang-kadang tidak mungkin) untuk mengetahui nilai yang tepat dari apa yang diinginkan.

Alat utama ketika bekerja dengan aproksimasi adalah diferensial suatu fungsi.

Diferensial suatu fungsi f, dilambangkan dengan Δf (x), tidak lebih dari turunan dari fungsi f dikalikan dengan perubahan dalam variabel independen, yaitu, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Terkadang df dan dx digunakan sebagai ganti Δf dan Δx.

Pendekatan menggunakan diferensial

Rumus yang diterapkan untuk membuat perkiraan melalui diferensial muncul tepat dari definisi turunan dari suatu fungsi sebagai batas.

Formula ini diberikan oleh:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Di sini dipahami bahwa Δx = x-x0, oleh karena itu, x = x0 + Δx. Dengan menggunakan rumus ini dapat ditulis ulang sebagai

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Perlu dicatat bahwa "x0" bukan nilai arbitrer, tetapi nilai sedemikian sehingga f (x0) mudah diketahui; Selain itu, "f (x)" hanyalah nilai yang ingin kami perkirakan.

Apakah ada perkiraan yang lebih baik??

Jawabannya adalah ya. Yang sebelumnya adalah yang paling sederhana dari perkiraan yang disebut "perkiraan linier".

Untuk perkiraan kualitas yang lebih baik (kesalahan lebih kecil) polinomial dengan lebih banyak turunan yang disebut "Taylor polinomial" digunakan, serta metode numerik lainnya seperti metode Newton-Raphson..

Strategi

Strategi yang harus diikuti adalah:

- Pilih fungsi yang sesuai f untuk melakukan aproksimasi dan nilai "x" sehingga f (x) adalah nilai yang ingin Anda perkirakan.

- Pilih nilai "x0", dekat dengan "x", sehingga f (x0) mudah untuk dihitung.

- Hitung Δx = x-x0.

- Hitung turunan dari fungsi dan f '(x0).

- Ganti data dalam rumus.

Latihan aproksimasi terpecahkan

Dalam apa yang terus berlanjut ada serangkaian latihan di mana perkiraan dibuat menggunakan diferensial.

Latihan pertama

Perkiraan √3.

Solusi

Mengikuti strategi, fungsi yang sesuai harus dipilih. Dalam hal ini dapat dilihat bahwa fungsi yang dipilih harus f (x) = √x dan nilai perkiraannya adalah f (3) = √3.

Sekarang kita harus memilih nilai "x0" dekat dengan "3" sehingga f (x0) mudah dihitung. Jika Anda memilih "x0 = 2" Anda memiliki "x0" dekat dengan "3" tetapi f (x0) = f (2) = √2 tidak mudah untuk dihitung.

Nilai "x0" yang sesuai adalah "4", karena "4" dekat dengan "3" dan juga f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jika "x = 3" dan "x0 = 4", maka Δx = 3-4 = -1. Sekarang kita lanjutkan menghitung turunan dari f. Yaitu, f '(x) = 1/2 * √x, sehingga f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Mengganti semua nilai dalam rumus yang Anda dapatkan:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Jika kalkulator digunakan, diperoleh bahwa √3≈1.73205 ... Ini menunjukkan bahwa hasil sebelumnya adalah perkiraan yang baik dari nilai riil.

Latihan kedua

Kira-kira √10.

Solusi

Seperti sebelumnya dipilih sebagai fungsi f (x) = √x dan dalam hal ini x = 10.

Nilai x0 yang harus dipilih dalam kesempatan ini adalah "x0 = 9". Kami kemudian memiliki Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 dan f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Saat mengevaluasi dalam rumus Anda mendapatkannya

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Menggunakan kalkulator Anda mendapatkan bahwa √10 ≈ 3.1622776 ... Di sini Anda juga dapat melihat bahwa perkiraan yang baik diperoleh sebelum.

Latihan ketiga

Perkiraan ³√10, dengan ³√ menunjukkan akar kubik.

Solusi

Jelas fungsi yang harus digunakan dalam latihan ini adalah f (x) = ³√x dan nilai "x" harus "10".

Nilai yang dekat dengan "10" sehingga akar pangkatnya diketahui adalah "x0 = 8". Maka kita memiliki Δx = 10-8 = 2 dan f (x0) = f (8) = 2. Kita juga memiliki f '(x) = 1/3 * ³√x², dan akibatnya f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Mengganti data dalam rumus, diperoleh bahwa:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkulator mengatakan bahwa ³√10 ≈ 2.15443469 ... Oleh karena itu, perkiraan yang ditemukan adalah baik.

Latihan keempat

Approxime ln (1.3), di mana "ln" menunjukkan fungsi logaritma natural.

Solusi

Pertama, fungsi f (x) = ln (x) dipilih dan nilai "x" adalah 1,3. Sekarang, mengetahui sedikit tentang fungsi logaritma, kita dapat mengetahui bahwa ln (1) = 0, dan juga "1" dekat dengan "1.3". Oleh karena itu, "x0 = 1" dipilih dan jadi Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Di sisi lain f '(x) = 1 / x, sehingga f' (1) = 1. Saat mengevaluasi dalam formula yang diberikan Anda harus:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Saat menggunakan kalkulator Anda harus dalam (1.3) ≈ 0,262364 ... Jadi perkiraan yang dibuat baik.

Referensi

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematika pra-kalkulus: pendekatan pemecahan masalah (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Belajar Cengage.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Geometri Analitik Datar. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Perhitungan (Edisi kesembilan). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus diferensial dengan fungsi transendental awal untuk Sains dan Teknik (Edisi Kedua ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Bagian: Analytical Conics (1907) (cetak ulang ed.). Sumber Petir.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pendidikan Pearson.