Fitur metode aksiomatik, langkah, contoh



itu metode aksiomatik atau juga disebut Aksioma adalah prosedur formal yang digunakan oleh ilmu pengetahuan dengan mana pernyataan atau proposisi yang disebut aksioma dirumuskan, dihubungkan satu sama lain dengan hubungan deduksi dan yang merupakan dasar dari hipotesis atau kondisi dari sistem tertentu.

Definisi umum ini harus dibingkai dalam evolusi yang telah dimiliki metodologi ini sepanjang sejarah. Pertama, ada metode atau konten kuno, lahir di Yunani Kuno dari Euclid dan kemudian dikembangkan oleh Aristoteles.

Kedua, sudah di abad kesembilan belas, penampilan geometri dengan aksioma berbeda dari Euclid. Dan akhirnya, metode aksiomatik formal atau modern, yang eksponen maksimumnya adalah David Hilbert.

Di luar perkembangannya dari waktu ke waktu, prosedur ini telah menjadi dasar dari metode deduktif yang digunakan dalam geometri dan logika tempat asalnya. Ini juga telah digunakan dalam fisika, kimia, dan biologi.

Dan itu bahkan telah diterapkan pada ilmu hukum, sosiologi dan ekonomi politik. Namun, saat ini bidang aplikasi yang paling penting adalah matematika dan logika simbolik dan beberapa cabang fisika seperti termodinamika, mekanika, di antara disiplin ilmu lainnya.

Indeks

  • 1 Karakteristik 
    • 1.1 Metode atau konten aksiomatik lama 
    • 1.2 Metode aksiomatik non-Euclidean
    • 1.3 Metode aksiomatik modern atau formal
  • 2 Langkah 
  • 3 Contoh
  • 4 Referensi

Fitur

Meskipun karakteristik mendasar dari metode ini adalah perumusan aksioma, ini tidak selalu dianggap dengan cara yang sama.

Ada beberapa yang dapat didefinisikan dan dibangun secara sewenang-wenang. Dan yang lainnya, menurut model di mana kebenarannya yang dijamin secara intuisi dipertimbangkan.

Untuk memahami secara spesifik apa yang terdiri dari perbedaan ini dan konsekuensinya, perlu ditinjau evolusi dari metode ini.

Metode atau konten aksiomatik lama 

Ini adalah yang didirikan di Yunani Kuno sekitar abad ke-5 SM. Lingkup aplikasinya adalah geometri. Pekerjaan mendasar dari tahap ini adalah Elemen Euclid, meskipun dianggap bahwa sebelum dia, Pythagoras, telah melahirkan metode aksiomatik.

Jadi orang-orang Yunani mengambil fakta-fakta tertentu sebagai aksioma, tanpa memerlukan bukti logis, yaitu, tanpa perlu demonstrasi, karena bagi mereka mereka adalah kebenaran yang terbukti dengan sendirinya.

Euclides menyajikan lima aksioma untuk geometri:

1-Diberikan dua poin ada garis yang berisi atau menghubungkannya.

2-Setiap segmen dapat dilanjutkan secara kontinu pada garis yang tidak terbatas di kedua sisi.

3-Anda dapat menggambar lingkaran yang memiliki pusat pada titik dan radius apa pun.

Sudut 4-Kanan semuanya sama.

5-Mengambil garis lurus dan titik apa pun yang tidak ada di dalamnya, ada garis lurus yang sejajar dengan itu dan yang mengandung titik itu. Aksioma ini dikenal, kemudian, sebagai aksioma paralel dan telah diucapkan juga sebagai: oleh titik di luar garis dapat ditarik satu paralel.

Namun, baik Euclid dan kemudian matematikawan, setuju bahwa aksioma kelima tidak sejelas intuisi yang lain 4. Bahkan selama Renaissance sedang mencoba menyimpulkan kelima dari 4 lainnya, tetapi tidak mungkin.

Ini membuat bahwa sudah pada abad ke-19, mereka yang mempertahankan lima adalah pendukung geometri Euclidean dan mereka yang menolak kelima, adalah mereka yang menciptakan geometri non-Euclidean.

Metode aksiomatik non-Euclidean

Justru Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai dan Johann Karl Friedrich Gauss yang melihat kemungkinan membangun, tanpa kontradiksi, sebuah geometri yang berasal dari sistem aksioma yang berbeda dari Euclid. Ini menghancurkan kepercayaan akan kebenaran absolut atau apriori dari aksioma dan teori-teori yang diturunkan darinya.

Oleh karena itu, aksioma mulai dipahami sebagai titik awal dari teori yang diberikan. Pilihan dan masalah validitasnya dengan satu atau lain cara, mulai berhubungan dengan fakta di luar teori aksiomatik.

Dengan cara ini muncul teori-teori geometris, aljabar dan aritmatika yang dibangun dengan menggunakan metode aksiomatik.

Tahap ini memuncak dengan penciptaan sistem aksiomatik untuk aritmatika seperti Giuseppe Peano pada tahun 1891; geometri David Hubert pada tahun 1899; pernyataan dan perhitungan predikat Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, di Inggris pada tahun 1910; teori aksiomatik dari himpunan Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo pada tahun 1908.

Metode aksiomatik modern atau formal

Adalah David Hubert yang memulai konsepsi metode aksiomatik formal dan yang mengarah pada kulminasinya, David Hilbert.

Justru Hilbert yang memformalkan bahasa ilmiah, menganggap pernyataannya sebagai formula atau urutan tanda yang tidak memiliki makna dalam diri mereka. Mereka hanya memperoleh makna dalam interpretasi tertentu.

Dalam "Dasar-dasar geometri"Jelaskan contoh pertama metodologi ini. Dari sini geometri menjadi ilmu konsekuensi logis murni, yang diekstraksi dari sistem hipotesis atau aksioma, diartikulasikan lebih baik daripada sistem Euclidean.

Ini karena dalam sistem lama teori aksiomatik didasarkan pada bukti aksioma. Sedangkan landasan teori formal diberikan oleh demonstrasi non-kontradiksi aksioma.

Langkah-langkah

Prosedur yang melakukan penataan aksiomatik dalam teori-teori ilmiah mengakui:

a-pilihan sejumlah aksioma, yaitu sejumlah proposisi dari teori tertentu yang diterima tanpa perlu ditunjukkan.

b-konsep yang merupakan bagian dari proposisi ini tidak ditentukan dalam kerangka teori yang diberikan.

c-aturan definisi dan deduksi teori yang diberikan diperbaiki dan memungkinkan untuk memperkenalkan konsep baru dalam teori dan secara logis menyimpulkan beberapa proposisi dari yang lain.

d-dalil-dalil lain dari teori, yaitu, teorema, disimpulkan dari a berdasarkan c.

Contohnya

Metode ini dapat diverifikasi melalui demonstrasi dua teorema Euclid yang paling terkenal: teorema kaki dan teorema tinggi..

Keduanya muncul dari pengamatan geometer Yunani ini bahwa ketika ketinggian diplot sehubungan dengan sisi miring dalam segitiga siku-siku, dua segitiga tampak lebih dari aslinya. Segitiga ini mirip satu sama lain dan pada saat yang sama mirip dengan segitiga asal. Ini mengasumsikan bahwa masing-masing sisi homolognya proporsional.

Dapat dilihat bahwa sudut kongruen dalam segitiga dengan cara ini memverifikasi kesamaan yang ada antara tiga segitiga yang terlibat sesuai dengan kriteria kesamaan AAA. Kriteria ini menyatakan bahwa ketika dua segitiga memiliki semua sudut sama, mereka sama.

Setelah segitiga ditunjukkan serupa, proporsi yang ditentukan dalam teorema pertama dapat ditetapkan. Ini menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, pengukuran setiap katetus adalah rata-rata proporsional geometris antara sisi miring dan proyeksi katetus di dalamnya..

Teorema kedua adalah ketinggian. Ini menentukan bahwa setiap segitiga siku-siku tinggi yang digambar sesuai dengan sisi miring adalah rata-rata proporsional geometrik antara segmen yang ditentukan oleh rata-rata geometris tersebut pada sisi miring.

Tentu saja kedua teorema memiliki banyak aplikasi di seluruh dunia tidak hanya di bidang pendidikan, tetapi juga di bidang teknik, fisika, kimia dan astronomi.

Referensi

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme, dan intuisi: David Hilbert dan metode aksiomatik formal (1895-1905). Majalah Philosophy, Vol. 39 Núm. 2, hal.121-146. Diambil dari revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Pikiran aksiomatik. Dalam W.Ewald, editor, dari Kant ke Hilbert: sebuah buku sumber di dasar matematika. Volume II, hlm 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Apa metode aksiomatik? Synthese, November 2011, volume 189, hal.69-85. Diambil dari link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Pengantar Filsafat Hukum Kontemporer. (hal.48-49). Diambil dari books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Metode Axiomatic, dengan membaca oleh Ricardo Nirenberg, Fall 1996, University at Albany, Project Renaissance. Diambil dari Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert antara sisi formal dan informal dari Matematika. Naskah vol. 38 no. 2, Campinas Juli / Agustus 2015. Diambil dari scielo.br.