Definisi Laplace, sejarah, untuk tujuan apa, properti



itu berubah dari Laplace telah dalam beberapa tahun terakhir sangat penting dalam studi teknik, matematika, fisika, di antara bidang ilmiah lainnya, serta menjadi minat besar dalam teori, menyediakan cara sederhana untuk menyelesaikan masalah yang berasal dari sains dan teknik.

Awalnya Transformasi Laplace disajikan oleh Pierre-Simon Laplace dalam studinya tentang teori probabilitas dan pada awalnya diperlakukan sebagai objek matematika hanya kepentingan teoritis..

Aplikasi saat ini muncul ketika berbagai ahli matematika mencoba memberikan pembenaran formal untuk "aturan operasional" yang digunakan oleh Heaviside dalam studi persamaan teori elektromagnetik.

Indeks

  • 1 Definisi
    • 1.1 Contoh
    • 1.2 Teorema (Kondisi yang memadai untuk keberadaan)
    • 1.3 Transformasi Laplace dari beberapa fungsi dasar
  • 2 Sejarah
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Properti
    • 3.1 Linearitas
    • 3.2 Teorema terjemahan pertama
    • 3.3 Teorema terjemahan kedua
    • 3.4 Perubahan skala
    • 3,5 ransformasi Laplace turunan
    • 3,6 Laplace transformasi integral
    • 3.7 Penggandaan oleh tn
    • 3.8 Divisi oleh t
    • 3.9 Fungsi berkala
    • 3.10 Perilaku F (s) ketika s cenderung tak terhingga
  • 4 Transformasi terbalik
    • 4.1 Latihan
  • 5 Aplikasi transformasi Laplace
    • 5.1 persamaan diferensial
    • 5.2 Sistem persamaan diferensial
    • 5.3 Mekanika dan sirkuit listrik
  • 6 Referensi

Definisi

Biarkan f menjadi fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai berikut:

Dikatakan bahwa Transformasi Laplace ada jika integral sebelumnya bertemu, jika tidak maka dikatakan bahwa transformasi Laplace tidak ada.

Secara umum, untuk menunjukkan fungsi yang ingin diubah, huruf kecil digunakan dan huruf besar sesuai dengan transformasi. Dengan cara ini kita akan memiliki:

Contohnya

Pertimbangkan fungsi konstan f (t) = 1. Kami memiliki transformasinya adalah:

Setiap kali integral bertemu, itu selalu disediakan bahwa s> 0. Jika tidak, s < 0, la integral diverge.

Biarkan g (t) = t. Transformasi Laplace Anda diberikan oleh

Dengan mengintegrasikan oleh bagian-bagian dan mengetahui bahwa Anda-st ia cenderung ke 0 ketika t cenderung tak terhingga dan s> 0, bersama dengan contoh sebelumnya kita memiliki itu:

Transformasi mungkin ada atau tidak ada, misalnya untuk fungsi f (t) = 1 / t integral yang mendefinisikan Transformasi Laplace-nya tidak menyatu dan oleh karena itu transformasinya tidak ada.

Kondisi yang memadai untuk memastikan bahwa transformasi Laplace dari fungsi f ada, adalah bahwa f adalah kontinu di bagian untuk t ≥ 0 dan dari urutan eksponensial..

Dikatakan bahwa suatu fungsi kontinu di bagian-bagian untuk t ≥ 0, ketika untuk setiap interval [a, b] dengan a> 0, ada sejumlah titik t yang terbatask, di mana f memiliki diskontinuitas dan kontinu di setiap subinterval [tk-1,tk].

Di sisi lain, dikatakan bahwa suatu fungsi berurutan eksponensial c jika ada konstanta nyata M> 0, c dan T> 0 sedemikian rupa sehingga:

Sebagai contoh kita memiliki itu f (t) = t2 adalah urutan eksponensial, karena | t2| < e3t untuk semua t> 0.

Secara formal kita memiliki teorema berikut

Teorema (Kondisi yang memadai untuk keberadaan)

Jika f adalah fungsi kontinu per bagian untuk t> 0 dan urutan eksponensial c, maka ada transformasi Laplace untuk s> c.

Penting untuk digarisbawahi bahwa ini adalah kondisi kecukupan, yaitu, bisa jadi ada kasus bahwa ada fungsi yang tidak memenuhi kondisi ini dan bahkan kemudian Transformasi Laplace-nya ada..

Contohnya adalah fungsi f (t) = t-1/2 yang tidak kontinu pada bagian untuk t ≥ 0 tetapi Transformasi Laplace-nya ada.

Transformasi Laplace dari beberapa fungsi dasar

Tabel berikut menunjukkan transformasi Laplace dari fungsi yang paling umum.

Sejarah

Transformasi Laplace berutang namanya kepada Pierre-Simon Laplace, ahli matematika dan astronom teori Perancis yang lahir pada tahun 1749 dan meninggal pada tahun 1827. Kemasyhurannya sedemikian sehingga ia dikenal sebagai Newton dari Perancis.

Pada 1744 Leonard Euler mengabdikan studinya untuk integral dengan bentuk

sebagai solusi persamaan diferensial biasa, tetapi dengan cepat meninggalkan penyelidikan ini. Belakangan, Joseph Louis Lagrange, yang sangat mengagumi Euler, juga menyelidiki tipe integral ini dan menghubungkannya dengan teori probabilitas.

1782, Laplace

Pada tahun 1782 Laplace mulai mempelajari integral-integral ini sebagai solusi untuk persamaan diferensial dan menurut sejarawan, pada 1785 ia memutuskan untuk merumuskan kembali masalah, yang kemudian melahirkan transformasi Laplace seperti yang dipahami sekarang..

Setelah diperkenalkan ke bidang teori probabilitas, itu tidak menarik bagi para ilmuwan saat itu dan hanya dilihat sebagai objek matematika yang hanya menarik secara teoritis saja..

Oliver Heaviside

Itu pada pertengahan abad kesembilan belas ketika insinyur Inggris Oliver Heaviside menemukan bahwa operator diferensial dapat diperlakukan sebagai variabel aljabar, sehingga memberikan aplikasi modern mereka pada transformasi Laplace..

Oliver Heaviside adalah seorang ahli fisika, insinyur elektro dan matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1850 di London dan meninggal pada tahun 1925. Ketika mencoba memecahkan masalah persamaan diferensial yang diterapkan pada teori getaran dan menggunakan studi Laplace, ia mulai membentuk aplikasi modern dari transformasi Laplace.

Hasil yang dipamerkan oleh Heaviside menyebar dengan cepat ke seluruh komunitas ilmiah saat itu, tetapi karena pekerjaannya tidak ketat, ia dengan cepat dikritik oleh matematikawan tradisional..

Namun, kegunaan karya Heaviside dalam menyelesaikan persamaan fisika membuat metodenya populer di kalangan fisikawan dan insinyur.

Terlepas dari kemunduran ini dan setelah beberapa dekade upaya gagal, pada awal abad ke-20 pembenaran ketat terhadap aturan operasional yang diberikan oleh Heaviside dapat diberikan..

Upaya ini terbayar berkat upaya beragam matematikawan seperti Bromwich, Carson, van der Pol, antara lain..

Properti

Di antara sifat-sifat transformasi Laplace, berikut ini menonjol:

Linearitas

Biarkan c1 dan c2 menjadi fungsi konstanta dan f (t) dan g (t) yang transformasi Laplace masing-masing adalah F (s) dan G (s), maka kita harus:

Karena properti ini dikatakan bahwa Transformasi Laplace adalah operator linier.

Contoh

Teorema terjemahan pertama

Jika itu terjadi:

Dan 'a' adalah bilangan real, lalu:

Contoh

Sebagai transformasi Laplace dari cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) maka:

Teorema terjemahan kedua

Ya

Lalu

Contoh

Jika f (t) = t ^ 3, maka F (s) = 6 / s ^ 4. Dan karena itu, transformasi

adalah G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Ubah skala

Ya

Dan 'a' adalah real bukan nol, kita harus

Contoh

Karena transformasi dari f (t) = sin (t) adalah F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) itu harus

ransformasi Laplace turunan

Jika f, f ', f ", ..., f(n) kontinu untuk t ≥ 0 dan berurutan eksponensial dan f(n)(t) kontinu di bagian untuk t ≥ 0, kemudian

Transformasi integral dari Laplace

Ya

Lalu

Perkalian dengan tn

Jika harus

Lalu

Pembagian oleh t

Jika harus

Lalu

Fungsi berkala

Misalkan f adalah fungsi periodik dengan periode T> 0, yaitu, f (t + T) = f (t), lalu

Perilaku F saat s cenderung tak terhingga

Jika f kontinu dalam bagian dan tatanan eksponensial dan

Lalu

Transformasi terbalik

Ketika kami menerapkan Transformasi Laplace ke fungsi f (t), kami memperoleh F, yang mewakili transformasi itu. Dengan cara yang sama kita dapat mengatakan bahwa f (t) adalah transformasi Laplace terbalik dari F (s) dan ditulis sebagai

Kita tahu bahwa transformasi Laplace dari f (t) = 1 dan g (t) = t adalah F (s) = 1 / s dan G (s) = 1 / s2 masing-masing, oleh karena itu kita harus

Beberapa transformasi Laplace terbalik umum adalah sebagai berikut

Selain itu, transformasi Laplace terbalik adalah linier, yaitu, terpenuhi

Berolahraga

Temukan

Untuk menyelesaikan latihan ini kita harus mencocokkan fungsi F (s) dengan salah satu dari tabel sebelumnya. Dalam hal ini, jika kita mengambil n + 1 = 5 dan menggunakan properti linearitas dari inverse transform, kita kalikan dan bagi dengan 4! Mendapatkan

Untuk transformasi invers kedua kami menerapkan fraksi parsial untuk menulis ulang fungsi F (s) dan kemudian properti linearitas, memperoleh

Seperti yang dapat kita lihat dari contoh-contoh ini, adalah umum bahwa fungsi F (s) yang dievaluasi tidak persis sama dengan salah satu fungsi yang diberikan dalam tabel. Untuk kasus-kasus ini, seperti yang diamati, cukup menulis ulang fungsi sampai mencapai bentuk yang sesuai.

Aplikasi transformasi Laplace

Persamaan diferensial

Aplikasi utama dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Menggunakan properti dari transformasi turunan jelaslah itu

Dan dari turunan n-1 dievaluasi pada t = 0.

Properti ini membuat transformasi sangat berguna untuk menyelesaikan masalah nilai awal di mana persamaan diferensial dengan koefisien konstan terlibat.

Contoh berikut menunjukkan cara menggunakan Transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Contoh 1

Diberikan masalah nilai awal berikut

Gunakan Transformasi Laplace untuk menemukan solusinya.

Kami menerapkan transformasi Laplace ke setiap anggota persamaan diferensial

Untuk properti dari transformasi derivatif yang kami miliki

Dengan mengembangkan semua ekspresi dan kliring Dan, kita ditinggalkan

Menggunakan fraksi parsial untuk menulis ulang sisi kanan persamaan yang kita dapatkan

Akhirnya, tujuan kami adalah menemukan fungsi y (t) yang memenuhi persamaan diferensial. Menggunakan transformasi Laplace terbalik memberi kita hasilnya

Contoh 2

Pecahkan

Seperti dalam kasus sebelumnya, kami menerapkan transformasi di kedua sisi persamaan dan memisahkan istilah dengan istilah.

Dengan cara ini kita memiliki hasilnya

Mengganti dengan nilai awal yang diberikan dan menghapus Y (s)

Dengan menggunakan pecahan sederhana, kita dapat menulis ulang persamaan sebagai berikut

Dan menerapkan transformasi terbalik dari Laplace memberi kita hasilnya

Dalam contoh-contoh ini orang dapat sampai pada kesimpulan yang salah bahwa metode ini tidak jauh lebih baik daripada metode tradisional untuk menyelesaikan persamaan diferensial.

Keuntungan yang ditawarkan oleh Transformasi Laplace adalah bahwa tidak perlu menggunakan variasi parameter atau khawatir tentang berbagai kasus metode koefisien tak tentu.

Selain menyelesaikan masalah nilai awal dengan metode ini, dari awal kami menggunakan kondisi awal, sehingga tidak perlu melakukan perhitungan lain untuk menemukan solusi tertentu.

Sistem persamaan diferensial

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menemukan solusi untuk persamaan diferensial biasa simultan, seperti yang ditunjukkan contoh berikut.

Contoh

Pecahkan

Dengan kondisi awal x (0) = 8 e dan (0) = 3.

Jika harus

Lalu

Menyelesaikan hasil di dalam kita

Dan ketika menerapkan transformasi terbalik Laplace yang kami miliki

Mekanik dan sirkuit listrik

Transformasi Laplace sangat penting dalam fisika, terutama memiliki aplikasi untuk sirkuit mekanik dan listrik.

Sirkuit listrik sederhana terdiri dari elemen-elemen berikut

Sakelar, baterai atau sumber, induktor, resistor, dan kapasitor. Ketika sakelar ditutup, dihasilkan arus listrik yang dilambangkan dengan i (t). Biaya kapasitor dilambangkan dengan q (t).

Menurut hukum kedua Kirchhoff, tegangan yang dihasilkan oleh sumber E ke sirkuit tertutup harus sama dengan jumlah dari masing-masing penurunan tegangan.

Arus listrik i (t) terkait dengan muatan q (t) dalam kapasitor oleh i = dq / dt. Di sisi lain, drop tegangan didefinisikan pada masing-masing elemen sebagai berikut:

Penurunan tegangan pada resistor adalah iR = R (dq / dt)

Penurunan tegangan dalam sebuah induktor adalah L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Penurunan tegangan kapasitor adalah q / C

Dengan data ini dan menerapkan hukum Kirchhoff kedua ke sirkuit sederhana tertutup, persamaan diferensial orde kedua diperoleh yang menggambarkan sistem dan memungkinkan kita untuk menentukan nilai q (t).

Contoh

Induktor, kapasitor, dan resistor terhubung ke baterai E, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Induktor adalah 2 henries, kapasitor 0,02 farad dan resistansi 16 onhm. Pada saat t = 0 sirkuit ditutup. Temukan beban dan arus kapan saja t> 0 jika E = 300 volt.

Kami memiliki persamaan diferensial yang menggambarkan rangkaian ini sebagai berikut

Dimana kondisi awal adalah q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Menerapkan transformasi Laplace kami dapatkan itu

Dan kliring Q (t)

Kemudian, menerapkan transformasi Laplace terbalik yang kita miliki

Referensi

  1. G. Holbrook, J. (1987). Transformasi Laplace untuk insinyur elektronik. Jeruk nipis.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Persamaan diferensial dan Transformasi Laplace dengan aplikasi. Editorial UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Persamaan diferensial dengan aplikasi dan catatan sejarah. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Transformasi Laplace. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Persamaan diferensial dengan masalah nilai di perbatasan. Cengage Learning Editores, S.A..