Apa itu saudara sepupu? Karakteristik dan Contoh



Itu disebut saudara sepupu relatif (coprimos atau sepupu relatif satu sama lain) untuk setiap pasangan bilangan bulat yang tidak memiliki pembagi kesamaan, kecuali 1.

Dengan kata lain, dua bilangan bulat adalah sepupu relatif jika dalam dekomposisi dalam bilangan prima, mereka tidak memiliki faktor yang sama.

Misalnya, jika 4 dan 25 dipilih, dekomposisi faktor utama masing-masing adalah 2² dan 5² masing-masing. Seperti yang dihargai, ini tidak memiliki faktor umum, oleh karena itu 4 dan 25 adalah sepupu relatif.

Di sisi lain, jika 6 dan 24 dipilih, ketika melakukan dekomposisi dalam faktor prima, kita mendapatkan bahwa 6 = 2 * 3 dan 24 = 2³ * 3.

Seperti yang Anda lihat, dua ekspresi terakhir ini memiliki setidaknya satu faktor yang sama, oleh karena itu, mereka bukan bilangan prima relatif.

Sepupu Relatif

Satu hal yang perlu diperhatikan adalah mengatakan bahwa sepasang bilangan bulat adalah bilangan prima adalah bahwa ini tidak menyiratkan bahwa salah satu dari mereka adalah bilangan prima.

Selain itu, definisi di atas dapat diringkas sebagai berikut: dua bilangan bulat "a" dan "b" relatif prima jika, dan hanya jika pembagi umum terbesar dari ini adalah satu, yaitu FPB ( a, b) = 1.

Dua kesimpulan langsung dari definisi ini adalah:

-Jika "a" (atau "b") adalah bilangan prima, maka mcd (a, b) = 1.

-Jika "a" dan "b" adalah bilangan prima, maka mcd (a, b) = 1.

Artinya, jika setidaknya salah satu angka yang dipilih adalah bilangan prima, maka secara langsung pasangan angka adalah bilangan prima relatif.

Fitur Lainnya

Hasil lain yang digunakan untuk menentukan apakah dua angka adalah bilangan prima adalah:

-Jika dua bilangan bulat berturut-turut maka ini adalah sepupu relatif.

-Dua bilangan asli "a" dan "b" adalah bilangan prima relatif jika, dan hanya jika, bilangan "(2 ^ a) -1" dan "(2 ^ b) -1" adalah bilangan prima relatif.

-dua bilangan bulat "a" dan "b" relatif prima jika, dan hanya jika, merencanakan titik (a, b) pada bidang Cartesian, dan membangun garis melalui titik asal (0,0) dan (a b) tidak mengandung titik dengan koordinat bilangan bulat.

Contohnya

1.- Pertimbangkan bilangan bulat 5 dan 12. Dekomposisi faktor utama dari kedua angka adalah: 5 dan 2² * 3 masing-masing. Sebagai kesimpulan, gcd (5,12) = 1, oleh karena itu, 5 dan 12 adalah bilangan prima relatif.

2.- Biarkan angka -4 dan 6. Kemudian -4 = -2² dan 6 = 2 * 3, sehingga LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. Kesimpulannya -4 dan 6 bukan sepupu relatif.

Jika kita lanjutkan untuk merencanakan garis lurus melewati pasang memerintahkan (4,6) dan (0,0), dan menentukan persamaan garis itu, dapat diverifikasi bahwa ini melewati titik (-2,3).

Sekali lagi disimpulkan bahwa -4 dan 6 bukan sepupu relatif.

3.- Angka 7 dan 44 adalah bilangan prima relatif dan dapat dengan cepat disimpulkan berkat hal di atas, karena 7 adalah bilangan prima.

4.- Pertimbangkan angka 345 dan 346. Menjadi dua angka berturut-turut, diverifikasi bahwa mcd (345.346) = 1, oleh karena itu 345 dan 346 adalah bilangan prima relatif.

5.- Mengingat angka 147 dan 74, maka ini adalah relatif prima, karena 147 = 3 * 7² dan 74 = 2 * 37 karena gcd (147,74) = 1.

6.- Angka 4 dan 9 adalah bilangan prima relatif. Untuk menunjukkan ini, karakterisasi kedua yang disebutkan di atas dapat digunakan. Akibatnya, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 dan 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Angka yang diperoleh adalah 15 dan 511. The dekomposisi faktorisasi prima dari angka-angka ini 3 * 5 7 * 73 masing-masing, sehingga gcd (15.511) = 1.

Seperti yang Anda lihat, menggunakan karakterisasi kedua adalah tugas yang lebih panjang dan lebih melelahkan daripada memverifikasi secara langsung.

7.- Pertimbangkan angka -22 dan -27. Maka angka-angka ini dapat ditulis ulang sebagai berikut: -22 = -2 * 11 dan -27 = -3³. Oleh karena itu, gcd (-22, -27) = 1, jadi -22 dan -27 adalah bilangan prima relatif.

Referensi

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengantar Teori Angka. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Elemen aritmatika. Toko Buku Anak-anak Para Tuan dan Putra Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Kursus dasar dalam teori bilangan. Universitas Utara.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Himpunan Angka Utuh. EUNED.
  5. Institut Tinggi untuk Pelatihan Guru (Spanyol), J. L. (2004). Angka, bentuk, dan volume di lingkungan anak. Kementerian Pendidikan.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Matematika praktis: aritmatika, aljabar, geometri, trigonometri dan aturan slide (cetak ulang ed.). Kembalikan.
  7. Rock, N. M. (2006). Aljabar I Mudah! Sangat mudah. Team Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). Aljabar. Pendidikan Pearson.
  9. Szecsei, D. (2006). Matematika Dasar dan Pra-Aljabar (bergambar ed.). Karir Pers.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Kursus Matematika ke-2. Progreso Editorial.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Prinsip Dasar Aritmatika. ELIZCOM S.A.S.