Apa itu Batas Trigonometrik? (dengan Latihan yang Diselesaikan)

itu batas trigonometri mereka adalah batas fungsi sehingga fungsi-fungsi ini dibentuk oleh fungsi trigonometri.

Ada dua definisi yang harus diketahui untuk memahami bagaimana perhitungan batas trigonometri dilakukan.

Definisi-definisi ini adalah:

- Batas fungsi "f" ketika "x" cenderung "b": itu terdiri dalam menghitung nilai yang mendekati f (x) sebagai "x" mendekati "b", tanpa mencapai "b".

- Fungsi trigonometri: fungsi trigonometri adalah fungsi sinus, kosinus, dan garis singgung, dilambangkan dengan dosa (x), cos (x) dan tan (x) secara berurutan.

Fungsi trigonometri lainnya diperoleh dari tiga fungsi yang disebutkan di atas.

Batas fungsi

Untuk mengklarifikasi konsep batas fungsi akan dilanjutkan untuk menunjukkan beberapa contoh dengan fungsi sederhana.

- Batas f (x) = 3 ketika "x" cenderung "8" sama dengan "3", karena fungsi selalu konstan. Tidak peduli berapa banyak nilai "x", nilai f (x) akan selalu menjadi "3".

- Batas f (x) = x-2 ketika "x" cenderung "6" adalah "4". Sejak kapan "x" mendekati "6" maka "x-2" mendekati "6-2 = 4".

- Batas g (x) = x² ketika "x" cenderung "3" sama dengan 9, karena ketika "x" mendekati "3" maka "x²" mendekati "3² = 9".

Seperti yang dapat dilihat pada contoh sebelumnya, menghitung batas terdiri dari mengevaluasi nilai yang cenderung "x" dalam fungsi, dan hasilnya akan menjadi nilai batas, meskipun ini hanya berlaku untuk fungsi kontinu.

Apakah ada batasan yang lebih rumit??

Jawabannya adalah ya. Contoh di atas adalah contoh batas yang paling sederhana. Dalam buku perhitungan, latihan batas utama adalah latihan yang menghasilkan penentuan tipe 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 dan (∞) ^ 0.

Ungkapan-ungkapan ini disebut ketidakpastian karena merupakan ekspresi yang secara matematis tidak masuk akal.

Selain itu, tergantung pada fungsi yang terlibat dalam batas asli, hasil yang diperoleh dalam menyelesaikan ketidakpastian dapat berbeda dalam setiap kasus.

Contoh batas trigonometri sederhana

Untuk mengatasi batasan, selalu sangat berguna untuk mengetahui grafik dari fungsi yang terlibat. Di bawah ini adalah grafik dari fungsi sinus, kosinus dan garis singgung.

Beberapa contoh batas trigonometri sederhana adalah:

- Hitung batas dosa (x) ketika "x" cenderung "0".

Saat melihat grafik Anda dapat melihat bahwa jika "x" mendekati "0" (baik di kiri dan di kanan), maka grafik sinus juga mendekati "0". Oleh karena itu, batas dosa (x) ketika "x" cenderung "0" adalah "0".

- Hitung batas cos (x) ketika "x" cenderung "0".

Mengamati grafik cosinus, dapat dilihat bahwa ketika "x" dekat dengan "0" maka grafik cosinus dekat dengan "1". Ini menyiratkan bahwa batas cos (x) ketika "x" cenderung "0" sama dengan "1".

Batas dapat ada (berupa angka), seperti dalam contoh sebelumnya, tetapi juga dapat terjadi bahwa batas itu tidak ada sebagaimana ditunjukkan dalam contoh berikut.

- Batas tan (x) ketika "x" cenderung "Π / 2" di sebelah kiri sama dengan "+ ∞", seperti yang dapat dilihat pada grafik. Di sisi lain, batas tan (x) ketika "x" cenderung "-Π / 2" di sebelah kanan sama dengan "-∞".

Identitas Batas Trigonometrik

Dua identitas yang sangat berguna ketika menghitung batas trigonometri adalah:

- Batas "sin (x) / x" ketika "x" cenderung ke "0" sama dengan "1".

- Batas "(1-cos (x)) / x" ketika "x" cenderung "0" sama dengan "0".

Identitas ini sangat sering digunakan ketika Anda memiliki ketidakpastian tertentu.

Latihan yang diselesaikan

Selesaikan batasan berikut dengan menggunakan identitas yang dijelaskan di atas.

- Hitung batas "f (x) = sin (3x) / x" ketika "x" cenderung "0".

Jika fungsi "f" dievaluasi dalam "0", indeterminasi tipe 0/0 akan diperoleh. Oleh karena itu, kita harus mencoba menyelesaikan ketidakpastian ini menggunakan identitas yang dijelaskan.

Satu-satunya perbedaan antara batas dan identitas ini adalah angka 3 yang muncul dalam fungsi sinus. Untuk menerapkan identitas, fungsi "f (x)" harus ditulis ulang dengan cara berikut "3 * (sin (3x) / 3x)". Sekarang, baik argumen sinus dan penyebutnya sama.

Jadi ketika "x" cenderung "0", menggunakan hasil identitas dalam "3 * 1 = 3". Oleh karena itu, batas f (x) ketika "x" cenderung "0" sama dengan "3".

- Hitung batas "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" ketika "x" cenderung "0".

Ketika "x = 0" diganti dalam g (x), penentuan jenis ∞-∞ diperoleh. Untuk mengatasinya, pecahan dikurangi, yang menghasilkan hasil "(1-cos (x)) / x".

Sekarang, ketika menerapkan identitas trigonometri kedua, kita memiliki batas g (x) ketika "x" cenderung "0" sama dengan 0.

- Hitung batas "h (x) = 4tan (5x) / 5x" ketika "x" cenderung "0".

Sekali lagi, jika Anda mengevaluasi h (x) ke "0" Anda akan mendapatkan penentuan tipe 0/0.

Menulis ulang tan (5x) sebagai sin (5x) / cos (5x) menghasilkan bahwa h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Menggunakan batas 4 / cos (x) ketika "x" cenderung ke "0" sama dengan "4/1 = 4" dan identitas trigonometri pertama diperoleh bahwa batas h (x) ketika "x" cenderung a "0" sama dengan "1 * 4 = 4".

Pengamatan

Batas trigonometri tidak selalu mudah dipecahkan. Dalam artikel ini hanya contoh dasar yang ditampilkan.

Referensi

1. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Matematika pra-kalkulus: pendekatan pemecahan masalah (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Belajar Cengage.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Geometri Analitik Datar. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Perhitungan (Edisi kesembilan). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus diferensial dengan fungsi transendental awal untuk Sains dan Teknik (Edisi Kedua ed.). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Plane Geometry, Bagian: Analytical Conics (1907) (cetak ulang ed.). Sumber Petir.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pendidikan Pearson.