Karakteristik, tipe, area, volume paralel yang paralel

A parallelepiped adalah tubuh geometris yang dibentuk oleh enam wajah, yang karakteristik utamanya adalah bahwa semua wajah mereka adalah jajar genjang dan juga wajah mereka yang berlawanan sejajar satu sama lain. Ini adalah polyhedron umum dalam kehidupan kita sehari-hari, karena kita dapat menemukannya dalam kotak sepatu, bentuk batu bata, bentuk microwave, dll..

Menjadi polyhedron, paralelepiped membungkus volume yang terbatas dan semua wajahnya rata. Ini adalah bagian dari kelompok prisma, yang merupakan polyhedra di mana semua simpulnya terkandung dalam dua bidang paralel.

Indeks

• 1 Elemen yang Diparalelkan
  • 1.1 Wajah
  • 1.2 Tepi
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonal
  • 1.5 tengah
• 2 Karakteristik yang Diparalelkan
• 3 Jenis
  • 3.1 Perhitungan diagonal
• 4 Area
  • 4.1 Luas orthohedron
  • 4.2 Luas kubus
  • 4.3 Luas rhombohedron
  • 4.4. Area suatu belah ketupat
• 5 Volume paralelepiped
  • 5.1 Paralel sempurna
• 6 Daftar Pustaka

Elemen-elemen paralelepiped

Wajah

Mereka adalah masing-masing daerah yang dibentuk oleh jajaran genjang yang membatasi jajaran genjang. Paralelipiped memiliki enam wajah, di mana setiap wajah memiliki empat wajah yang berdekatan dan satu berlawanan. Selain itu, setiap sisi sejajar dengan kebalikannya.

Tepi

Mereka adalah sisi umum dari dua wajah. Secara total paralelepiped memiliki dua belas tepi.

Vertex

Ini adalah titik kesamaan dari tiga wajah yang berdekatan satu sama lain dua atau dua. Paralelipip memiliki delapan simpul.

Diagonal

Diberikan dua sisi yang berlawanan dari sebuah paralelepiped, kita dapat menggambar segmen garis yang bergerak dari verteks satu wajah ke verteks yang berlawanan dari yang lain.

Segmen ini dikenal sebagai diagonal dari paralelepiped. Setiap paralelepiped memiliki empat diagonal.

Pusat kota

Ini adalah titik di mana semua diagonal bersilangan.

Karakteristik paralelepiped

Seperti yang kami sebutkan, tubuh geometris ini memiliki dua belas tepi, enam wajah dan delapan simpul.

Dalam sebuah parallelepiped Anda dapat mengidentifikasi tiga set yang dibentuk oleh empat tepi, yang sejajar satu sama lain. Selain itu, tepi set ini juga memenuhi properti memiliki panjang yang sama.

Properti lain yang dimiliki oleh parallelepipeds adalah bahwa mereka cembung, yaitu, jika kita mengambil sepasang titik yang termasuk dalam interior parallelepiped, segmen yang ditentukan oleh pasangan poin tersebut juga akan berada di dalam parallelepiped..

Selain itu, paralelepiped yang cembung polyhedra sesuai dengan teorema Euler untuk polyhedra, yang memberi kita hubungan antara jumlah wajah, jumlah tepi dan jumlah simpul. Hubungan ini diberikan dalam bentuk persamaan berikut:

C + V = A + 2

Fitur ini dikenal sebagai karakteristik Euler.

Di mana C adalah jumlah wajah, V jumlah simpul dan A jumlah tepi.

Jenis

Kami dapat mengklasifikasikan paralelepipeds berdasarkan wajah mereka, dalam jenis berikut:

Ortopedi

Mereka adalah paralelepipeds di mana wajah mereka dibentuk oleh enam persegi panjang. Setiap persegi panjang tegak lurus dengan yang dibagikan ujungnya. Mereka adalah yang paling umum dalam kehidupan sehari-hari kita dengan cara yang biasa seperti kotak sepatu dan batu bata.

Kubus atau heksahedron biasa

Ini adalah kasus khusus dari yang sebelumnya, di mana masing-masing wajah adalah kotak.

Kubus juga merupakan bagian dari benda-benda geometris yang disebut padatan platonis. Padatan platonik adalah polihedron cembung, sehingga wajah dan sudut internalnya sama satu sama lain.

Romboedro

Ini adalah paralelepiped dengan berlian di wajahnya. Berlian-berlian ini semuanya sama satu sama lain, karena mereka berbagi sisi.

Romboiedro

Keenam wajahnya adalah rhomboids. Ingat bahwa rhomboid adalah poligon dengan empat sisi dan empat sudut yang sama dua atau dua. Rhomboids adalah jajaran genjang yang tidak persegi, atau persegi panjang, atau rhombus.

Di sisi lain, parallelepiped miring adalah mereka yang setidaknya satu ketinggian tidak setuju dengan tepinya. Dalam klasifikasi ini kita dapat memasukkan rhombohedron dan rhombichedron.

Perhitungan diagonal

Untuk menghitung diagonal orthohedron kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras untuk R³.

Ingatlah bahwa orthohedron memiliki karakteristik bahwa setiap sisi tegak lurus dengan sisi-sisi yang berbagi tepi. Dari fakta ini kita dapat menyimpulkan bahwa setiap sisi tegak lurus dengan mereka yang berbagi titik.

Untuk menghitung panjang diagonal orthohedron kami melanjutkan sebagai berikut:

1. Kami menghitung diagonal salah satu wajah, yang akan kami tempatkan sebagai basis. Untuk ini kita menggunakan teorema Pythagoras. Beri nama diagonal ini d_b.

2. Lalu dengan d_b kita dapat membentuk segitiga siku-siku baru, sehingga sisi miring dari segitiga tersebut adalah diagonal D yang dicari.

3. Kami menggunakan lagi teorema Pythagoras dan kami memiliki panjang diagonal tersebut adalah:

Cara lain untuk menghitung diagonal dengan cara yang lebih grafis adalah dengan penjumlahan vektor gratis.

Ingat bahwa dua vektor bebas A dan B ditambahkan dengan menempatkan ekor vektor B dengan ujung vektor A.

Vektor (A + B) adalah vektor yang dimulai dari ujung A dan berakhir di ujung B.

Pertimbangkan parallelepiped yang ingin kita hitung diagonal.

Kami mengidentifikasi tepi dengan vektor yang berorientasi dengan mudah.

Kemudian kita tambahkan vektor-vektor ini dan vektor yang dihasilkan akan menjadi diagonal dari paralelepiped.

Area

Luas paralelepiped diberikan oleh jumlah masing-masing bidang wajah mereka.

Jika kita menentukan salah satu sisi sebagai alas,

A_L. + 2A_B = Total Area

Dimana a_L. sama dengan jumlah area semua sisi yang berdekatan dengan pangkalan, yang disebut area lateral dan A_B adalah area dasar.

Bergantung pada jenis paralelepiped yang sedang kami kerjakan, kami dapat menulis ulang rumus tersebut.

Area orthohedron

Itu diberikan oleh formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Contoh 1

Dengan ortohedron berikut, dengan sisi a = 6 cm, b = 8 cm dan c = 10 cm, hitung luas paralelepiped dan panjang diagonalnya..

Kita harus menggunakan rumus untuk bidang orthohedron

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Perhatikan bahwa karena itu adalah ortohedron, panjang salah satu dari keempat diagonalnya adalah sama.

Menggunakan teorema Pythagoras untuk ruang kita harus

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Luas sebuah kubus

Karena setiap tepi memiliki panjang yang sama, kami memiliki a = b dan a = c. Mengganti formula sebelumnya yang kita miliki

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Contoh 2

Kotak konsol game berbentuk kubus. Jika kita ingin membungkus kotak ini dengan kertas kado, berapa banyak kertas yang akan kita habiskan dengan mengetahui bahwa panjang tepi kubus adalah 45 cm?

Dengan menggunakan rumus area kubus, kita memperolehnya

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Area rhombohedron

Karena semua wajah mereka sama, itu sudah cukup untuk menghitung luas salah satu dari mereka dan mengalikannya dengan enam.

Kita dapat menghitung luas berlian menggunakan diagonal dengan rumus berikut

A_R = (Dd) / 2

Dengan menggunakan rumus ini, berarti luas total rhombohedron adalah

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Contoh 3

Wajah-wajah rhombohedron berikut ini dibentuk oleh belah ketupat dengan diagonal D = 7 cm dan d = 4 cm. Area Anda akan menjadi

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Area yang belah ketupat

Untuk menghitung luas rhombic, kita harus menghitung luas rhomboids yang menyusunnya. Karena parallelepipeds mematuhi properti yang sisi-sisinya berlawanan memiliki area yang sama, kita dapat mengasosiasikan sisi-sisi itu dalam tiga pasangan.

Dengan cara ini kami memiliki area Anda akan

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Dimana b_saya adalah basis yang terkait dengan sisi dan_saya tingginya relatif sesuai dengan pangkalan tersebut.

Contoh 4

Pertimbangkan parallelepiped berikut,

di mana sisi A dan sisi A '(sisi yang berlawanan) memiliki sebagai basis b = 10 dan untuk tinggi h = 6. Area yang ditandai akan memiliki nilai

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B dan B 'memiliki b = 4 dan h = 6, kalau begitu

A₂ = 2 (4) (6) = 48

Dan C dan C 'memiliki b = 10 dan h = 5, jadi

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Akhirnya area rhombohedron adalah

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume paralelepiped

Rumus yang memberi kita volume paralelepiped adalah produk dari area salah satu wajahnya dengan ketinggian yang sesuai dengan wajah tersebut..

V = A_Ch_C

Tergantung pada jenis formula kata paralel yang dapat disederhanakan.

Jadi kita punya misalnya bahwa volume orthohedron akan diberikan oleh

V = abc.

Dimana a, b dan c mewakili panjang tepi ortohedron.

Dan dalam kasus tertentu dari kubus adalah

V = a³

Contoh 1

Ada tiga model berbeda untuk kotak cookie dan Anda ingin tahu di mana dari model ini Anda dapat menyimpan lebih banyak cookie, yaitu kotak mana yang memiliki volume tertinggi..

Yang pertama adalah kubus yang ujungnya memiliki panjang a = 10 cm

Volumenya akan menjadi V = 1000 cm³

Yang kedua memiliki tepi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Dan karena itu volumenya adalah V = 765 cm³

Dan yang ketiga memiliki e = 9 cm, f = 9 cm dan g = 13 cm

Dan volumenya adalah V = 1053 cm³

Karena itu, kotak dengan volume terbesar adalah yang ketiga.

Metode lain untuk mendapatkan volume paralelepiped adalah dengan menggunakan aljabar vektor. Secara khusus, produk skalar tiga.

Salah satu interpretasi geometris yang memiliki produk skalar tiga adalah volume parallelepiped, yang ujung-ujungnya adalah tiga vektor yang berbagi titik yang sama dengan titik awal.

Dengan cara ini jika kita memiliki paralelepiped dan kita ingin tahu apa volumenya, itu cukup untuk mewakilinya dalam sistem koordinat dalam R³ mencocokkan salah satu simpulnya dengan titik asal.

Kemudian kami mewakili tepi yang sesuai dengan asal dengan vektor seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Dan dengan cara ini kita memiliki bahwa volume kata paralel itu diberikan oleh

V = | AxB ∙ C |

Atau ekuivalen volume adalah penentu matriks 3 × 3, yang dibentuk oleh komponen-komponen vektor tepi.

Contoh 2

Dengan mewakili paralelepeped berikutnya dalam R³ kita dapat melihat bahwa vektor yang menentukannya adalah sebagai berikut

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) dan w = (-0.25, -4, 4)

Menggunakan produk skalar tiga yang kami miliki

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Dari ini kami menyimpulkan bahwa V = 60

Sekarang perhatikan parallelepiped berikut dalam R3 yang tepinya ditentukan oleh vektor

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) dan C = (3, 4, 4)

Menggunakan determinan memberi kita itu

Jadi kita memiliki bahwa volume kata paralel adalah 112.

Keduanya merupakan cara yang setara untuk menghitung volume.

Paralel sempurna

Hal ini dikenal sebagai bata Euler (atau blok Euler) ke orthohedron yang memenuhi properti bahwa panjang tepi dan panjang diagonal masing-masing wajahnya adalah bilangan bulat..

Sementara Euler bukan ilmuwan pertama yang mempelajari ortohedron yang memenuhi sifat itu, ia menemukan hasil yang menarik tentang mereka.

Batu bata Euler yang lebih kecil ditemukan oleh Paul Halcke dan panjang tepinya adalah a = 44, b = 117 dan c = 240.

Masalah terbuka dalam teori bilangan adalah sebagai berikut

Apakah ada ortohedron sempurna?

Saat ini, pertanyaan ini tidak dapat dijawab, karena tidak mungkin membuktikan bahwa badan-badan ini tidak ada, tetapi tidak ada satupun yang ditemukan..

Apa yang telah ditunjukkan sejauh ini adalah bahwa parallelepipeds yang sempurna memang ada. Yang pertama kali ditemukan memiliki panjang tepinya nilai 103, 106 dan 271.

Daftar pustaka

1. Guy, R. (1981). Masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Kemajuan.
3. Leithold, L. (1992). PERHITUNGAN dengan Analytical Geometry. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Gambar teknik: Buku Kerja 3 2nd Baccalaureate . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fisika Vol. 1. Meksiko: Kontinental.