Metode Kuadrat Minimum, Latihan Selesaikan, dan Apa Yang Melayani



Metode kuadrat terkecil adalah salah satu aplikasi terpenting dalam perkiraan fungsi. Idenya adalah untuk menemukan kurva sehingga, mengingat satu set pasangan yang dipesan, fungsi ini lebih baik mendekati data. Fungsi dapat berupa garis, kurva kuadrat, kurva kubik, dll..

Gagasan metode ini adalah untuk meminimalkan jumlah kuadrat dari perbedaan dalam ordinat (komponen Y), antara titik-titik yang dihasilkan oleh fungsi yang dipilih dan titik-titik yang dimiliki oleh kumpulan data.

Indeks

  • 1 metode kuadrat terkecil
  • 2 Latihan dipecahkan
    • 2.1 Latihan 1
    • 2.2 Latihan 2
  • 3 Untuk apa ini??
  • 4 Referensi

Metode kuadrat terkecil

Sebelum memberikan metode, pertama-tama kita harus jelas tentang apa arti "pendekatan yang lebih baik". Mari kita anggap kita mencari garis y = b + mx yang paling mewakili seperangkat n poin, yaitu (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Seperti yang ditunjukkan pada gambar sebelumnya, jika variabel x dan y dihubungkan oleh garis y = b + mx, maka untuk x = x1 nilai yang sesuai dari y adalah b + mx1. Namun, nilai ini berbeda dari nilai sebenarnya dari y, yaitu y = y1.

Ingatlah bahwa dalam pesawat, jarak antara dua titik diberikan oleh rumus berikut:

Dengan pemikiran ini, untuk menentukan bagaimana memilih garis y = b + mx yang paling mendekati data yang diberikan, masuk akal untuk menggunakan pemilihan garis yang meminimalkan jumlah kuadrat dari jarak antara titik-titik sebagai kriteria dan lurus.

Karena jarak antara titik (x1, y1) dan (x1, b + mx1) adalah y1- (b + mx1), masalah kami berkurang hingga menemukan angka m dan b sehingga jumlah berikut minimal:

Garis yang memenuhi kondisi ini dikenal sebagai "perkiraan garis kuadrat terkecil ke titik (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Setelah masalah terpecahkan, kita hanya perlu memilih metode untuk menemukan pendekatan kuadrat terkecil. Jika titik (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) semuanya ada di baris y = mx + b, kita harus collinear dan:

Dalam ungkapan ini:

Akhirnya, jika titik-titiknya tidak collinear, maka y-Au = 0 dan masalahnya dapat diterjemahkan ke dalam menemukan vektor atau sedemikian rupa sehingga norma Euclidean minimal..

Menemukan vektor meminimalkan tidak sesulit yang Anda bayangkan. Karena A adalah matriks nx2 dan u adalah matriks 2 × 1, kita memiliki vektor Au sebagai vektor dalam Rn dan itu milik gambar A, yang merupakan subruang dari Rn dengan dimensi tidak lebih dari dua.

Kami akan menganggap bahwa n = 3 untuk menunjukkan prosedur mana yang harus diikuti. Jika n = 3, gambar A akan menjadi bidang atau garis yang melewati titik asal.

Misalkan v adalah vektor peminimalkan. Dalam gambar kita mengamati bahwa y-Au diminimalkan ketika ortogonal dengan gambar A. Yaitu, jika v adalah vektor penurun, maka itu terjadi bahwa:

Kemudian, kita dapat mengekspresikan hal di atas dengan cara ini:

Ini hanya dapat terjadi jika:

Akhirnya, kliring v, kita harus:

Dimungkinkan untuk melakukan ini sejak AtA tidak bisa dibalik asalkan n poin yang diberikan karena data tidak collinear.

Sekarang, jika alih-alih mencari garis, kami ingin mencari parabola (yang ekspresinya berbentuk y = a + bx + cx2) yang merupakan pendekatan yang lebih baik ke titik data n, prosedurnya akan seperti yang dijelaskan di bawah ini.

Jika n titik data berada di parabola tersebut, ia harus:

Lalu:

Dengan cara yang sama kita dapat menulis y = Au. Jika semua titik tidak ada dalam parabola, kami memiliki bahwa y-Au berbeda dari nol untuk vektor u apa pun dan masalah kami adalah lagi: temukan vektor u di R3 sedemikian rupa sehingga normanya || y-Au || sekecil mungkin.

Dengan mengulangi prosedur sebelumnya, kita dapat sampai pada vektor yang dicari:

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Temukan garis yang paling cocok dengan poin (1,4), (-2,5), (3, -1) dan (4,1).

Solusi

Kita harus:

Lalu:

Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa garis yang paling cocok dengan poin diberikan oleh:

Latihan 2

Misalkan suatu benda dijatuhkan dari ketinggian 200 m. Saat jatuh, langkah-langkah berikut diambil:

Kita tahu bahwa ketinggian benda tersebut, setelah melewati waktu t, diberikan oleh:

Jika kita ingin mendapatkan nilai g, kita dapat menemukan parabola yang merupakan perkiraan yang lebih baik untuk lima poin yang diberikan dalam tabel, dan dengan demikian kita akan memiliki koefisien yang menyertai2 itu akan menjadi perkiraan yang wajar untuk (-1/2) g jika pengukurannya akurat.

Kita harus:

Dan kemudian:

Jadi poin data disesuaikan dengan ekspresi kuadrat berikut:

Maka, Anda harus:

Ini adalah nilai yang cukup dekat dengan yang benar, yaitu g = 9,81 m / s2. Untuk mendapatkan perkiraan g yang lebih akurat, perlu dimulai dari pengamatan yang lebih tepat.

Untuk apa ini??

Dalam masalah yang terjadi dalam ilmu alam atau sosial, akan lebih mudah untuk menulis hubungan yang terjadi antara variabel yang berbeda dengan menggunakan beberapa ekspresi matematika.

Misalnya, kita dapat menghubungkan biaya (C), pendapatan (I) dan keuntungan (U) dalam bidang ekonomi dengan menggunakan rumus sederhana:

Dalam fisika, kita dapat menghubungkan percepatan yang disebabkan oleh gravitasi, waktu suatu benda jatuh dan ketinggian benda secara hukum:

Dalam ungkapan sebelumnya so adalah ketinggian awal objek itu dan vo adalah kecepatan awal Anda.

Namun, menemukan formula seperti ini bukanlah tugas yang mudah; biasanya tergantung pada profesional yang bertugas untuk bekerja dengan banyak data dan berulang kali melakukan beberapa percobaan (untuk memverifikasi bahwa hasil yang diperoleh adalah konstan) untuk menemukan hubungan antara data yang berbeda.

Cara umum untuk mencapai hal ini adalah dengan merepresentasikan data yang diperoleh dalam pesawat sebagai titik dan mencari fungsi kontinu yang mendekati titik-titik ini secara optimal..

Salah satu cara untuk menemukan fungsi yang "paling mendekati" data yang diberikan adalah dengan metode kuadrat terkecil.

Selain itu, seperti yang kita lihat juga dalam latihan, berkat metode ini kita bisa mendapatkan perkiraan yang cukup dekat dengan konstanta fisik.

Referensi

  1. Aljabar Charles W Curtis Linear. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J .ouglas Faires. Analisis Angka (7ed). Belajar Thompson.
  4. Stanley I. Grossman. Aplikasi Aljabar Linier. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Aljabar linier MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO