Asal mula logika matematika, studi apa, tipe



itu logika matematika atau logika simbolik adalah bahasa matematika yang mencakup alat yang diperlukan dengan mana penalaran matematika dapat ditegaskan atau ditolak.

Diketahui bahwa dalam matematika tidak ada ambiguitas. Diberikan argumen matematis, ini valid atau tidak. Itu tidak bisa salah dan benar pada saat bersamaan.

Aspek khusus matematika adalah bahwa ia memiliki bahasa formal dan keras yang melaluinya validitas penalaran dapat ditentukan. Apa yang membuat alasan tertentu atau bukti matematika tidak terbantahkan? Itulah yang dimaksud dengan logika matematika.

Dengan demikian, logika adalah disiplin matematika yang bertanggung jawab untuk mempelajari penalaran dan demonstrasi matematika, dan menyediakan alat untuk dapat menyimpulkan kesimpulan yang benar dari pernyataan atau proposisi sebelumnya..

Untuk melakukan ini, ia menggunakan aksioma dan aspek matematika lainnya yang akan dikembangkan nanti.

Indeks

  • 1 Asal dan sejarah
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Apa yang dipelajari oleh logika matematika?
    • 2.1 Proposisi
    • 2.2 tabel kebenaran
  • 3 Jenis logika matematika
    • 3.1 Area
  • 4 Referensi

Asal dan sejarah

Tanggal pasti sehubungan dengan banyak aspek logika matematika tidak pasti. Namun, sebagian besar bibliografi tentang masalah ini melacak asal usul ini sampai ke Yunani kuno.

Aristoteles

Awal dari perlakuan keras terhadap logika dikaitkan, sebagian, dengan Aristoteles, yang menulis serangkaian karya logika, yang kemudian dikumpulkan dan dikembangkan oleh para filsuf dan ilmuwan yang berbeda, hingga Abad Pertengahan. Ini bisa dianggap sebagai "logika lama".

Kemudian, dalam apa yang dikenal sebagai Zaman Kontemporer, Leibniz, tergerak oleh keinginan mendalam untuk membangun bahasa universal untuk bernalar secara matematis, dan matematikawan lain seperti Gottlob Frege dan Giuseppe Peano, memengaruhi perkembangan logika matematika dengan kontribusi besar. , di antara mereka, Aksioma Peano, yang merumuskan sifat-sifat yang tak tergantikan dari bilangan alami.

Matematikawan George Boole dan Georg Cantor juga sangat berpengaruh pada saat ini, dengan kontribusi penting dalam teori himpunan dan tabel kebenaran, menyoroti, di antara aspek-aspek lain, Aljabar Boolean (oleh George Boole) dan Aksioma Pilihan (oleh George Cantor).

Ada juga Augustus De Morgan dengan hukum Morgan yang terkenal, yang merenungkan penolakan, konjungsi, disjungsi dan bersyarat antara proposisi, kunci untuk pengembangan Logika Simbolik, dan John Venn dengan diagram Venn yang terkenal.

Pada abad ke-20, sekitar tahun 1910 dan 1913, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menonjol dengan publikasi mereka Principia Mathematica, satu set buku yang mengumpulkan, mengembangkan dan mendalilkan serangkaian aksioma dan hasil logika.

Apa studi logika matematika?

Proposisi

Logika matematika dimulai dengan studi tentang proposisi. Proposisi adalah penegasan bahwa tanpa ambiguitas dapat dikatakan apakah itu benar atau tidak. Berikut ini adalah contoh-contoh proposisi:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • Pada tahun 1930 terjadi gempa bumi di Eropa.

Yang pertama adalah proposisi yang benar dan yang kedua adalah proposisi yang salah. Yang ketiga, meskipun mungkin orang yang membacanya tidak tahu apakah itu benar atau langsung, itu adalah pernyataan yang dapat diverifikasi dan ditentukan apakah itu benar-benar terjadi atau tidak..

Berikut ini adalah contoh ekspresi yang bukan proposisi:

  • Dia berambut pirang.
  • 2x = 6.
  • Ayo bermain!
  • Apakah Anda suka bioskop?

Dalam dalil pertama, tidak ditentukan siapa "dia", oleh karena itu tidak ada yang bisa ditegaskan. Dalam proposisi kedua, apa yang diwakili oleh "x" belum ditentukan. Jika sebaliknya dikatakan bahwa 2x = 6 untuk beberapa bilangan asli x, dalam hal ini akan sesuai dengan proposisi, pada kenyataannya benar, karena untuk x = 3 terpenuhi.

Dua pernyataan terakhir tidak sesuai dengan proposisi, karena tidak ada cara untuk menyangkal atau menegaskannya.

Dua atau lebih proposisi dapat digabungkan (atau dihubungkan) menggunakan penghubung (atau penghubung) yang dikenal. Ini adalah:

  • Denial: "Tidak hujan".
  • Disjungsi: "Luisa membeli tas putih atau abu-abu".
  • Konjungsi: "42= 16 dan 2 × 5 = 10 ".
  • Bersyarat: "Jika hujan, maka saya tidak pergi ke gym sore ini".
  • Biconditional: "Saya pergi ke gym sore ini jika, dan hanya jika, tidak hujan".

Proposisi yang tidak memiliki hubungan sebelumnya, disebut proposisi sederhana (atau atom). Misalnya, "2 kurang dari 4", adalah proposisi sederhana. Proposisi yang memiliki beberapa ikat disebut proposisi majemuk, seperti misalnya "1 + 3 = 4 dan 4 adalah bilangan genap".

Pernyataan yang dibuat dengan proposisi biasanya panjang, sehingga membosankan untuk selalu menuliskannya seperti yang telah kita lihat sejauh ini. Karena alasan ini, bahasa simbolik digunakan. Proposisi biasanya diwakili oleh huruf kapital seperti P, Q, R, S, dll. Dan ikat simbolis sebagai berikut:

Jadi itu

itu timbal balik proposisi bersyarat

adalah proposisi

Dan itu serangan balik (atau kontrapositif) dari suatu proposisi

adalah proposisi

Tabel kebenaran

Konsep penting lainnya dalam logika adalah bahwa tabel kebenaran. Nilai kebenaran suatu proposisi adalah dua kemungkinan yang tersedia untuk proposisi: true (yang akan dilambangkan dengan V dan nilai kebenarannya akan dikatakan V) atau false (yang akan dilambangkan dengan F dan nilainya akan dikatakan itu benar-benar F).

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk tergantung secara eksklusif pada nilai-nilai kebenaran dari proposisi sederhana yang muncul di dalamnya.

Untuk bekerja secara lebih umum, kami tidak akan mempertimbangkan proposisi spesifik, tetapi variabel proposisional p, q, r, s, dll., yang akan mewakili setiap proposisi.

Dengan variabel-variabel ini dan penghubung logis, formula proposisional yang terkenal dibentuk hanya ketika pernyataan majemuk dibuat.

Jika masing-masing variabel yang muncul dalam formula proposisi digantikan oleh proposisi, proposisi komposit diperoleh.

Di bawah ini adalah tabel kebenaran untuk penghubung logis:

Ada rumus proposisional yang hanya menerima nilai V di tabel kebenarannya, yaitu, kolom terakhir dari tabel kebenarannya hanya memiliki nilai V. Rumus jenis ini dikenal sebagai tautologi. Sebagai contoh:

Berikut ini adalah tabel kebenaran rumus

Dikatakan bahwa formula α secara logis menyiratkan formula β lain, jika α benar setiap kali β benar. Yaitu, dalam tabel kebenaran α dan β, baris di mana α memiliki V, β juga memiliki V. Hanya baris di mana α memiliki nilai V yang menarik. Notasi untuk implikasi logis adalah sebagai berikut :

Tabel berikut merangkum properti dari implikasi logis:

Dikatakan bahwa dua formula proposisional secara logis setara jika tabel kebenarannya identik. Notasi berikut digunakan untuk mengekspresikan kesetaraan logis:

Tabel berikut ini merangkum properti dari kesetaraan logis:

Jenis-jenis logika matematika

Ada berbagai jenis logika, terutama jika seseorang memperhitungkan logika pragmatis atau informal yang menunjuk pada filsafat, di antara bidang-bidang lain..

Sejauh menyangkut matematika, jenis-jenis logika dapat diringkas sebagai berikut:

  • Formal atau Aristotelian Logic (Logika Kuno).
  • Logika proposisional: bertanggung jawab untuk mempelajari segala sesuatu yang berkaitan dengan validitas argumen dan proposisi menggunakan bahasa formal dan juga simbolis.
  • Logika simbolik: difokuskan pada studi set dan sifat-sifatnya, juga dengan bahasa formal dan simbolik, dan sangat terkait dengan logika proposisional.
  • Logika kombinatorial: salah satu yang paling baru dikembangkan, melibatkan hasil yang dapat dikembangkan oleh algoritma.
  • Pemrograman logis: digunakan dalam berbagai paket dan bahasa pemrograman.

Area

Di antara bidang-bidang yang menggunakan logika matematika dalam cara yang sangat diperlukan dalam pengembangan penalaran dan argumen mereka, mereka menyoroti filsafat, teori himpunan, teori bilangan, matematika aljabar konstruktif dan bahasa pemrograman..

Referensi

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, Perangkat, dan Angka. Mérida - Venezuela: Dewan Publikasi, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengantar Teori Angka. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Kursus dasar dalam teori bilangan. Universitas Utara.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Cara Mengembangkan Penalaran Logis Logis. Editorial Universitas.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori angka. Buku Visi Editorial.