Properti, Jenis dan Contoh Homothety



itu homotecia adalah perubahan geometris pada bidang di mana, dari titik tetap yang disebut pusat (O), jarak dikalikan dengan faktor umum. Dengan cara ini, setiap titik P sesuai dengan produk titik P 'lain dari transformasi, dan ini diselaraskan dengan titik O.

Kemudian, homothety adalah korespondensi antara dua angka geometris, di mana titik-titik yang diubah disebut homothetic, dan ini disejajarkan dengan titik tetap dan dengan segmen yang sejajar satu sama lain.

Indeks

  • 1 Homotecia
  • 2 Properti
  • 3 Jenis
    • 3.1 Homothety langsung
    • 3.2 Membalikkan homothety
  • 4 Komposisi
  • 5 Contoh
    • 5.1 Contoh pertama
    • 5.2 Contoh kedua
  • 6 Referensi

Homothety

Homothety adalah transformasi yang tidak memiliki citra yang kongruen, karena dari satu tokoh satu atau lebih tokoh yang ukurannya lebih besar atau lebih kecil dari angka aslinya akan diperoleh; dengan kata lain, bahwa homothety mengubah poligon menjadi poligon serupa lainnya.

Agar homothety dapat terpenuhi mereka harus menyesuaikan titik ke titik dan langsung ke lurus, sehingga pasangan titik homolog selaras dengan titik tetap ketiga, yang merupakan pusat dari homothety.

Demikian juga, pasangan garis yang bergabung dengannya harus paralel. Hubungan antara segmen-segmen tersebut adalah konstanta yang disebut rasio homothety (k); sedemikian rupa sehingga homothety dapat didefinisikan sebagai:

Untuk membuat jenis transformasi ini Anda mulai dengan memilih titik arbitrer, yang akan menjadi pusat dari kesederhanaan.

Dari titik ini, segmen garis digambar untuk setiap titik dari gambar yang akan diubah. Skala di mana reproduksi tokoh baru dilakukan diberikan oleh alasan homothety (k).

Properti

Salah satu sifat utama dari homothety adalah bahwa, untuk alasan homothety (k), semua figur homothetic adalah serupa. Di antara properti luar biasa lainnya adalah sebagai berikut:

- Pusat homothety (O) adalah satu-satunya titik ganda dan itu berubah menjadi dirinya sendiri; itu tidak bervariasi.

- Garis-garis yang melewati pusat mengubah diri mereka sendiri (mereka ganda), tetapi titik-titik yang menyusunnya tidak ganda.

- Selat yang tidak melewati pusat ditransformasikan menjadi garis paralel; dengan cara ini, sudut homothety tetap sama.

- Gambar segmen dengan homotitas pusat O dan rasio k, adalah segmen yang paralel dengan ini dan memiliki k kali panjangnya. Misalnya, seperti terlihat pada gambar berikut, segmen AB oleh homothetic akan menghasilkan segmen A'B 'lainnya, sehingga AB akan sejajar dengan A'B' dan k akan menjadi:

- Sudut homotetis adalah kongruen; yaitu, mereka memiliki ukuran yang sama. Oleh karena itu, gambar sudut adalah sudut yang memiliki amplitudo yang sama.

Di sisi lain, homothety bervariasi tergantung pada nilai rasionya (k), dan kasus-kasus berikut dapat terjadi:

- Jika konstanta k = 1, semua titik ditetapkan karena mereka mengubah diri mereka sendiri. Dengan demikian, figur homoteis bertepatan dengan aslinya dan transformasi akan disebut fungsi identitas.

- Jika k ≠ 1, satu-satunya titik tetap adalah pusat homothety (O).

- Jika k = -1, homothety menjadi simetri sentral (C); artinya, rotasi di sekitar C akan terjadi pada sudut 180o.

- Jika k> 1, ukuran gambar yang diubah akan lebih besar dari ukuran aslinya.

- Ya 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ya -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Jika k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Jenis

Homothety juga dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, tergantung pada nilai rasionya (k):

Homothety langsung

Ini terjadi jika konstanta k> 0; yaitu, titik-titik homotetis berada di sisi yang sama sehubungan dengan pusat:

Faktor proporsionalitas atau rasio kesamaan antara angka-angka homotetis langsung akan selalu positif.

Membalikkan homothetic

Itu terjadi jika konstanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor proporsionalitas atau rasio kemiripan antara angka-angka terbalik homotetis akan selalu negatif.

Komposisi

Ketika beberapa gerakan dilakukan secara berturut-turut sampai mendapatkan angka yang sama dengan aslinya, komposisi gerakan terjadi. Komposisi beberapa gerakan juga merupakan gerakan.

Komposisi antara dua homoteia menghasilkan homothecia baru; yaitu, kami memiliki produk homotetik di mana pusat akan disejajarkan dengan pusat dari dua transformasi asli, dan rasio (k) adalah produk dari dua alasan.

Dengan demikian, dalam komposisi dua homote H1(Atau1, k1) dan H2(Atau2, k2), melipatgandakan alasan Anda: k1 x k2 = 1 akan menghasilkan kesederhanaan rasio k3 = K1 x k2. Pusat homothety baru ini (O3) akan terletak di lurus O1 O2.

Homoteitas berhubungan dengan perubahan yang datar dan tidak dapat diubah; jika dua homepage diterapkan yang memiliki pusat dan rasio yang sama tetapi dengan tanda yang berbeda, angka asli akan diperoleh.

Contohnya

Contoh pertama

Terapkan homothety ke pusat poligon (O) yang diberikan, terletak 5 cm dari titik A dan yang rasionya k = 0,7.

Solusi

Titik mana pun dipilih sebagai pusat homothety, dan dari sinar ini ditarik oleh simpul dari gambar:

Jarak dari pusat (O) ke titik A adalah OA = 5; dengan ini Anda dapat menentukan jarak salah satu titik homotetik (OA ') dengan mengetahui juga bahwa k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Proses ini dapat dilakukan untuk setiap titik, atau Anda juga dapat menggambar poligon homotetik mengingat kedua poligon memiliki sisi paralel:

Akhirnya, transformasi terlihat seperti ini:

Contoh kedua

Terapkan homothety ke pusat poligon (O) yang diberikan, terletak pada 8,5 cm dari titik C dan yang memiliki rasio y k = -2.

Solusi

Jarak dari pusat (O) ke titik C adalah OC = 8.5; dengan data ini dimungkinkan untuk menentukan jarak dari salah satu titik homotetik (OC '), dengan mengetahui juga bahwa k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Setelah menggambar segmen simpul dari poligon yang ditransformasi, kami menemukan bahwa titik awal dan homotetiknya terletak di ujung yang berlawanan sehubungan dengan pusat:

Referensi

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Gambar Teknis: notebook kegiatan.
  2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afinitas, homologi, dan homothety.
  3. Baer, ​​R. (2012). Aljabar Linier dan Geometri Proyektif. Perusahaan Kurir.
  4. Hebert, Y. (1980). Matematika umum, probabilitas dan statistik.
  5. Meserve, B. E. (2014). Konsep Dasar Geometri. Perusahaan Kurir.
  6. Nachbin, L. (1980). Pengantar aljabar. Kembalikan.