Kasus dan Contoh Fraksi Sebagian



itu fraksi parsial mereka adalah pecahan yang dibentuk oleh polinomial, di mana penyebutnya dapat berupa polinomial linier atau kuadratik, dan, di samping itu, dapat dinaikkan ke suatu kekuatan. Terkadang, ketika kita memiliki fungsi rasional, sangat berguna untuk menulis ulang fungsi ini sebagai jumlah fraksi parsial atau fraksi sederhana.

Ini karena dengan cara ini kita dapat memanipulasi fungsi-fungsi ini dengan cara yang lebih baik, terutama dalam kasus-kasus di mana perlu untuk mengintegrasikan aplikasi ini. Fungsi rasional hanyalah hasil bagi antara dua polinomial, dan mungkin tepat atau tidak tepat.

Jika tingkat polinomial pembilang lebih kecil dari penyebut, itu disebut fungsi rasionalnya sendiri; jika tidak, itu dikenal sebagai fungsi rasional yang tidak tepat.

Indeks

  • 1 Definisi
  • 2 Kasing
    • 2.1 Kasus 1
    • 2.2 Kasus 2
    • 2.3 Kasus 3
    • 2.4 Kasus 4
  • 3 Aplikasi
    • 3.1 Perhitungan komprehensif
    • 3.2 Hukum aksi massa
    • 3.3 Persamaan diferensial: persamaan logistik
  • 4 Referensi

Definisi

Ketika kita memiliki fungsi rasional yang tidak tepat, kita dapat membagi polinomial pembilang antara polinomial penyebut dan dengan demikian menulis ulang fraksi p (x) / q (x), mengikuti algoritma pembagian sebagai t (x) + s (x) / q (x), di mana t (x) adalah polinomial dan s (x) / q (x) adalah fungsi rasionalnya sendiri.

Fraksi parsial adalah fungsi polinomial yang semestinya, yang penyebutnya berbentuk (ax + b)n o (kapak2+ bx + c)n, jika kapak polinomial2 + bx + c tidak memiliki akar asli dan n adalah bilangan alami.

Untuk menulis ulang fungsi rasional dalam fraksi parsial, hal pertama yang harus dilakukan adalah menjadikan faktor penyebut q (x) sebagai produk dari faktor linier dan / atau kuadratik. Setelah ini dilakukan, fraksi parsial ditentukan, yang tergantung pada sifat faktor tersebut.

Kasing

Kami mempertimbangkan beberapa kasus secara terpisah.

Kasus 1

Faktor q (x) semuanya linier dan tidak ada yang diulang. Itu adalah:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Di sana, tidak ada faktor linier yang identik dengan yang lain. Ketika kasus ini terjadi, kami akan menulis:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Dimana a1,A2,..., As adalah konstanta yang ingin Anda temukan.

Contoh

Kami ingin menguraikan fungsi rasional menjadi fraksi sederhana:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Kami melanjutkan untuk memfaktorkan penyebutnya, yaitu:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Lalu:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Dengan menerapkan multiple paling tidak umum, Anda dapat memperolehnya:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Kami ingin mendapatkan nilai konstanta A, B dan C, yang dapat ditemukan dengan mengganti akar yang membatalkan masing-masing syarat. Mengganti 0 untuk x yang kita miliki:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Mengganti - 1 untuk x yang kami miliki:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Mengganti - 2 untuk x yang kita miliki:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Dengan cara ini, nilai A = -1/2, B = 2 dan C = -3/2 diperoleh..

Ada metode lain untuk mendapatkan nilai A, B dan C. Jika di sisi kanan persamaan x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kami menggabungkan istilah, kami memiliki:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Karena ini adalah persamaan polinomial, kita mengetahui bahwa koefisien sisi kiri harus sama dengan koefisien sisi kanan. Ini menghasilkan sistem persamaan berikut:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Saat memecahkan sistem persamaan ini, kami memperoleh hasil A = -1/2, B = 2 dan C = -3/2.

Akhirnya, mengganti nilai yang diperoleh kita harus:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Kasus 2

Faktor q (x) semuanya linier dan beberapa diulang. Misalkan (ax + b) adalah faktor yang diulang "s" kali; kemudian, untuk faktor ini sesuai dengan jumlah fraksi "s" parsial.

As/ (kapak + b)s + As-1/ (kapak + b)s-1 +... + A1/ (kapak + b).

Dimana as,As-1,..., A1 mereka adalah konstanta yang harus ditentukan. Dengan contoh berikut, kami akan menunjukkan cara menentukan konstanta ini.

Contoh

Terurai menjadi fraksi parsial:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Kami menulis fungsi rasional sebagai jumlah fraksi parsial sebagai berikut:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Lalu:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Mengganti 2 untuk x, kita harus:

7 = 4C, yaitu, C = 7/4.

Mengganti 0 untuk x yang kita miliki:

- 1 = -8A atau A = 1/8.

Mengganti nilai-nilai ini dalam persamaan sebelumnya dan mengembangkan, kita harus:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Mis2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Dengan mencocokkan koefisien, kami memperoleh sistem persamaan berikut:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Memecahkan sistem, kami memiliki:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Karena itu, kita harus:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Kasus 3

Faktor q (x) linier kuadratik, tanpa faktor kuadratik yang diulang. Untuk kasus ini faktor kuadratik (kapak2 + bx + c) sesuai dengan fraksi parsial (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), di mana konstanta A dan B adalah yang ingin Anda tentukan.

Contoh berikut menunjukkan cara melanjutkan dalam kasus ini

Contoh

Terurai menjadi pecahan sederhana a (x + 1) / (x3 - 1).

Pertama kita lanjutkan dengan faktor penyebut, yang memberi kita hasilnya:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Kita bisa melihat itu (x2 + x +1 adalah polinomial kuadrat tak tereduksi; artinya, ia tidak memiliki akar yang nyata. Penguraiannya menjadi fraksi parsial adalah sebagai berikut:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Dari sini kita memperoleh persamaan berikut:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Dengan menggunakan persamaan polinomial, kami memperoleh sistem berikut:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Dari sistem ini kita memiliki A = 2/3, B = - 2/3 dan C = 1/3. Mengganti, kita harus:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Kasus 4

Akhirnya, kasus 4 adalah salah satu di mana faktor q (x) linier dan kuadrat, di mana beberapa faktor kuadrat linier diulang.

Dalam hal ini, ya (kapak2 + bx + c) adalah faktor kuadrat yang diulang "s" kali, maka fraksi parsial sesuai dengan faktor (kapak)2 + bx + c) akan menjadi:

(A1x + B) / (kapak2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (kapak)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (kapak)2 + bx + c)s

Dimana as, As-1,..., A dan Bs, Bs-1,..., B adalah konstanta yang ingin Anda tentukan.

Contoh

Kami ingin memecah fungsi rasional berikut menjadi fraksi parsial:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Seperti x2 - 4x + 5 adalah faktor kuadrat tak tereduksi, kita memiliki dekomposisi menjadi fraksi parsial diberikan oleh:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Menyederhanakan dan mengembangkan, kami memiliki:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Dari penjelasan di atas, kami memiliki sistem persamaan berikut:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Saat memecahkan sistem, kita harus:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 dan E = - 3/5.

Saat mengganti nilai yang diperoleh, kami memiliki:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Aplikasi

Perhitungan komprehensif

Fraksi parsial digunakan terutama untuk studi kalkulus integral. Di bawah ini kita akan melihat beberapa contoh bagaimana membuat integral menggunakan fraksi parsial.

Contoh 1

Kami ingin menghitung integral:

Kita dapat melihat bahwa penyebut q (x) = (t + 2)2(t + 1) terdiri dari faktor linier di mana salah satu dari ini berulang; untuk ini kita ada dalam kasus 2.

Kita harus:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Kami menulis ulang persamaan dan kami memiliki:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Jika t = - 1, kita harus:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jika t = - 2, itu memberi kita:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Kemudian, jika t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Mengganti nilai A dan C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Dari penjelasan di atas, kita memiliki B = - 1.

Kami menulis ulang integral sebagai:

Kami terus menyelesaikannya dengan metode substitusi:

Ini menghasilkan:

Contoh 2

Pecahkan integral berikut:

Dalam hal ini kita dapat memfaktorkan menjadi q (x) = x2 - 4 sebagai q (x) = (x - 2) (x + 2). Jelas kita dalam kasus 1. Oleh karena itu:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Itu juga dapat dinyatakan sebagai:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jika x = - 2, kami memiliki:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Dan jika x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Jadi, kita harus menyelesaikan integral yang diberikan setara dengan memecahkan:

Ini memberi kita hasilnya:

Contoh 3

Selesaikan integral:

Kami memiliki q (x) = 9x4 + x2 , bahwa kita dapat memperhitungkan q (x) = x2(9x2 + 1).

Pada kesempatan ini kita memiliki faktor linier berulang dan faktor kuadratik; yaitu, kita dalam kasus 3.

Kita harus:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Mengelompokkan dan menggunakan kesetaraan polinomial, kami memiliki:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Dari sistem persamaan ini kita harus:

D = - 9 dan C = 0

Dengan cara ini, kita memiliki:

Dengan menyelesaikan masalah di atas, kami memiliki:

Hukum aksi massa

Aplikasi menarik dari fraksi parsial yang diterapkan pada kalkulus integral ditemukan dalam kimia, lebih tepatnya dalam hukum aksi massa.

Mari kita anggap kita memiliki dua zat, A dan B, yang bergabung dan membentuk zat C, sehingga turunan dari kuantitas C sehubungan dengan waktu sebanding dengan produk dari kuantitas A dan B pada saat tertentu.

Kami dapat mengungkapkan hukum aksi massa sebagai berikut:

Dalam ungkapan ini α adalah jumlah awal gram yang bersesuaian dengan A dan β jumlah awal gram yang bersesuaian dengan B.

Selain itu, r dan s mewakili jumlah gram A dan B masing-masing yang bergabung membentuk r + s gram C. Untuk bagiannya, x mewakili jumlah gram zat C pada waktu t, dan K adalah konstan proporsionalitas. Persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai:

Membuat perubahan berikut:

Kami memiliki persamaan menjadi:

Dari ungkapan ini kita dapat memperoleh:

Jika ya a ≠ b, pecahan parsial dapat digunakan untuk integrasi.

Contoh

Ambil contoh suatu zat C yang muncul dari penggabungan suatu zat A dengan B, sedemikian rupa sehingga hukum massa dipenuhi di mana nilai a dan b masing-masing adalah 8 dan 6. Berikan persamaan yang memberi kita nilai gram C sebagai fungsi waktu.

Mengganti nilai-nilai dalam hukum massa yang diberikan, kita memiliki:

Saat memisahkan variabel yang kita miliki:

Di sini 1 / (8 - x) (6 - x) dapat ditulis sebagai jumlah fraksi parsial, sebagai berikut:

Jadi, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jika kita mengganti x untuk 6, kita memiliki B = 1/2; dan mengganti x untuk 8, kita memiliki A = - 1/2.

Diintegrasikan oleh sebagian kecil yang kita miliki

Ini memberi kita hasilnya:

Persamaan diferensial: persamaan logistik

Aplikasi lain yang dapat diberikan kepada fraksi parsial adalah dalam persamaan diferensial logistik. Dalam model-model sederhana kami menemukan bahwa tingkat pertumbuhan suatu populasi sebanding dengan ukurannya; itu adalah:

Kasus ini ideal dan dianggap realistis sampai terjadi bahwa sumber daya yang tersedia dalam suatu sistem tidak cukup untuk mempertahankan populasi.

Dalam situasi ini lebih masuk akal untuk berpikir bahwa ada kapasitas maksimum, yang akan kita sebut L, bahwa sistem dapat bertahan, dan bahwa tingkat pertumbuhan sebanding dengan ukuran populasi dikalikan dengan ukuran yang tersedia. Argumen ini mengarah ke persamaan diferensial berikut:

Ungkapan ini disebut persamaan diferensial logistik. Ini adalah persamaan diferensial yang dapat dipisahkan yang dapat diselesaikan dengan metode integrasi dengan fraksi parsial.

Contoh

Contohnya adalah dengan mempertimbangkan populasi yang tumbuh sesuai dengan persamaan diferensial logistik berikut y '= 0,0004y (1000 - y), yang data awalnya adalah 400. Kami ingin mengetahui ukuran populasi pada waktu t = 2, di mana t diukur dalam beberapa tahun.

Jika kita menulis a dan 'dengan notasi Leibniz sebagai fungsi yang bergantung pada t, kita harus:

Integral dari sisi kiri dapat diselesaikan dengan menggunakan metode integrasi dengan fraksi parsial:

Kesetaraan terakhir ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

- Mengganti y = 0 kita memiliki A sama dengan 1/1000.

- Mengganti y = 1000 kita memiliki B sama dengan 1/1000.

Dengan nilai-nilai ini, integralnya dibiarkan sebagai berikut:

Solusinya adalah:

Menggunakan data awal:

Ketika kliring dan kami telah pergi:

Maka kita memilikinya pada t = 2:

Kesimpulannya, setelah 2 tahun ukuran populasi adalah sekitar 597,37.

Referensi

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Universitas Andes. Dewan Publikasi.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 integral diselesaikan. Universitas Eksperimental Nasional Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). PERHITUNGAN dengan Analytical Geometry. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Perhitungan. Meksiko: Pendidikan Pearson.
  5. Saenz, J. (s.f.). Kalkulus Komprehensif. Hypotenuse.