Persamaan polinomial (dengan Latihan Solved)

itu persamaan polinomial adalah pernyataan yang memunculkan persamaan antara dua ekspresi atau anggota, di mana setidaknya satu dari istilah yang membentuk setiap sisi persamaan adalah polinomial P (x). Persamaan ini dinamai sesuai dengan tingkat variabel mereka.

Secara umum, persamaan adalah pernyataan yang menetapkan kesetaraan dua ekspresi, di mana setidaknya satu dari ini ada jumlah yang tidak diketahui, yang disebut variabel atau tidak diketahui. Meskipun ada banyak jenis persamaan, mereka umumnya diklasifikasikan menjadi dua jenis: aljabar dan transenden.

Persamaan polinomial hanya mengandung ekspresi aljabar, yang mungkin memiliki satu atau lebih yang tidak diketahui yang terlibat dalam persamaan. Menurut eksponen (derajat) mereka dapat diklasifikasikan menjadi: derajat pertama (linier), derajat kedua (kuadratik), derajat ketiga (kubik), derajat keempat (kuartik), lebih besar dari atau sama dengan lima dan tidak rasional.

Indeks

• 1 Karakteristik
• 2 Jenis
  • 2.1 Kelas satu
  • 2.2 Gelar kedua
  • 2.3 Penyelesai
  • 2.4 Tingkat yang lebih tinggi
• 3 Latihan dipecahkan
  • 3.1 Latihan pertama
  • 3.2 Latihan kedua
• 4 Referensi

Fitur

Persamaan polinom adalah ekspresi yang dibentuk oleh persamaan antara dua polinomial; yaitu, dengan jumlah terbatas dari perkalian antara nilai-nilai yang tidak diketahui (variabel) dan angka tetap (koefisien), di mana variabel dapat memiliki eksponen, dan nilainya dapat berupa bilangan bulat positif, termasuk nol.

Eksponen menentukan derajat atau jenis persamaan. Istilah ungkapan yang memiliki eksponen nilai tertinggi akan mewakili tingkat absolut polinomial.

Persamaan polinomial juga dikenal sebagai persamaan aljabar, koefisiennya dapat berupa bilangan real atau kompleks dan variabel adalah bilangan tidak diketahui yang diwakili oleh huruf, seperti: "x".

Jika mengganti nilai untuk variabel "x" di P (x) hasilnya adalah nol (0), maka dikatakan bahwa nilai ini memenuhi persamaan (itu adalah solusi), dan biasanya disebut akar dari polinomial.

Ketika persamaan polinomial dikembangkan, Anda ingin menemukan semua akar atau solusi.

Jenis

Ada beberapa jenis persamaan polinomial, yang dibedakan menurut jumlah variabel, dan juga menurut derajat eksponennya..

Dengan demikian, persamaan polinomial -dimana istilah pertama adalah polinomial dengan hanya satu yang tidak diketahui, mengingat derajatnya dapat berupa bilangan asli (n) dan suku kedua adalah nol-, dapat dinyatakan sebagai berikut:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Dimana:

- a_n, a_n-1 dan a₀, mereka adalah koefisien nyata (angka).

- a_n berbeda dari nol.

- Eksponen n adalah bilangan bulat positif yang mewakili derajat persamaan.

- x adalah variabel atau tidak diketahui yang harus dicari.

Tingkat absolut atau lebih besar dari persamaan polinom adalah bahwa eksponen bernilai lebih besar di antara semua yang membentuk polinom; dengan cara itu, persamaan diklasifikasikan sebagai:

Kelas satu

Persamaan polinomial tingkat pertama, juga dikenal sebagai persamaan linier, adalah persamaan di mana derajat (eksponen terbesar) sama dengan 1, polinomialnya dalam bentuk P (x) = 0; dan itu terdiri dari istilah linear dan istilah independen. Itu ditulis sebagai berikut:

kapak + b = 0.

Dimana:

- a dan b adalah bilangan real dan ≠ 0.

- kapak adalah istilah linier.

- b adalah istilah independen.

Misalnya, persamaan 13x - 18 = 4x.

Untuk menyelesaikan persamaan linier, semua istilah yang mengandung x yang tidak diketahui harus dialihkan ke satu sisi kesetaraan, dan yang tidak memiliki harus dipindahkan ke sisi lain, untuk menghapusnya dan mendapatkan solusi:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Dengan cara itu, persamaan yang diberikan memiliki solusi tunggal atau root, yaitu x = 2.

Kelas dua

Persamaan polinomial derajat kedua, juga dikenal sebagai persamaan kuadrat, adalah persamaan di mana derajat (eksponen terbesar) sama dengan 2, polinomialnya dalam bentuk P (x) = 0, dan terdiri dari istilah kuadratik , satu linier dan satu independen. Itu diungkapkan sebagai berikut:

kapak² + bx + c = 0.

Dimana:

- a, b dan c adalah bilangan real dan ≠ 0.

- kapak² adalah istilah kuadratik, dan "a" adalah koefisien dari istilah kuadratik.

- bx adalah istilah linear, dan "b" adalah koefisien dari istilah linear.

- c adalah istilah independen.

Tangani

Secara umum, solusi untuk jenis persamaan ini diberikan dengan membersihkan x dari persamaan, dan dibiarkan sebagai berikut, yang disebut resolver:

Di sana, (b² - 4ac) disebut diskriminan persamaan dan ungkapan ini menentukan jumlah solusi yang dapat dimiliki persamaan:

- Ya (b² - 4ac) = 0, persamaan akan memiliki solusi tunggal yang ganda; yaitu, Anda akan memiliki dua solusi yang sama.

- Ya (b² - 4ac)> 0, persamaan akan memiliki dua solusi nyata yang berbeda.

- Ya (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Misalnya, Anda memiliki persamaan 4x² + 10x - 6 = 0, untuk mengatasinya, kenali dulu istilah a, b dan c, lalu ganti dalam rumus:

a = 4

b = 10

c = -6.

Ada kasus di mana persamaan polinomial tingkat kedua tidak memiliki tiga suku, dan itulah sebabnya mereka diselesaikan secara berbeda:

- Dalam hal persamaan kuadrat tidak memiliki istilah linier (yaitu, b = 0), persamaan akan dinyatakan sebagai kapak² + c = 0. Untuk menyelesaikannya, dihapus x² dan akar kuadrat diterapkan pada masing-masing anggota, mengingat bahwa dua tanda yang mungkin dapat diketahui yang tidak diketahui dipertimbangkan:

kapak² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Misalnya, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Ketika persamaan kuadrat tidak memiliki istilah independen (yaitu, c = 0), persamaan tersebut akan dinyatakan sebagai kapak² + bx = 0. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengekstrak faktor umum dari x yang tidak diketahui pada anggota pertama; karena persamaannya sama dengan nol, memang benar bahwa setidaknya salah satu faktor akan sama dengan 0:

kapak² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Dengan cara itu, Anda harus:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Misalnya: Anda memiliki persamaan 5x² + 30x = 0. Faktor pertama:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dua faktor dihasilkan yaitu x dan (5x + 30). Dianggap bahwa salah satu dari ini akan sama dengan nol dan solusi lainnya akan diberikan:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Gelar utama

Persamaan polinomial derajat yang lebih besar adalah yang pergi dari derajat ketiga dan seterusnya, yang dapat diekspresikan atau diselesaikan dengan persamaan polinomial umum untuk derajat apa pun:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Ini digunakan karena persamaan dengan derajat lebih besar dari dua adalah hasil dari faktorisasi polinomial; yaitu, itu dinyatakan sebagai penggandaan polinomial derajat satu atau lebih besar, tetapi tanpa akar yang nyata.

Solusi dari jenis persamaan ini adalah langsung, karena perkalian dua faktor akan sama dengan nol jika salah satu faktornya nol (0); Oleh karena itu, setiap persamaan polinomial yang ditemukan harus diselesaikan, mencocokkan setiap faktornya dengan nol.

Misalnya, Anda memiliki persamaan derajat ketiga (kubik) x³ + x² +4x + 4 = 0. Untuk mengatasinya, langkah-langkah berikut harus diikuti:

- Persyaratan dikelompokkan:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Anggota badan dipecah untuk mendapatkan faktor umum dari yang tidak diketahui:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Dengan cara ini, dua faktor diperoleh, yang harus sama dengan nol:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Dapat dilihat bahwa faktornya (x² + 4) = 0 tidak akan memiliki solusi nyata, sedangkan faktornya (x + 1) = 0 ya. Oleh karena itu, solusinya adalah:

(x + 1) = 0

x = -1.

Latihan yang diselesaikan

Selesaikan persamaan berikut:

Latihan pertama

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Solusi

Dalam hal ini persamaan dinyatakan sebagai penggandaan polinomial; itu adalah faktor. Untuk mengatasinya, setiap faktor harus sama dengan nol:

- 2x² + 5 = 0, tidak punya solusi.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Dengan demikian, persamaan yang diberikan memiliki dua solusi: x = 3 dan x = -1.

Latihan kedua

x⁴ - 36 = 0.

Solusi

Itu diberi polinomial, yang dapat ditulis ulang sebagai perbedaan kotak untuk sampai pada solusi yang lebih cepat. Jadi, persamaannya tetap:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Untuk menemukan solusi persamaan, kedua faktor sama dengan nol:

(x² + 6) = 0, tidak punya solusi.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Dengan demikian, persamaan awal memiliki dua solusi:

x = √6.

x = - √6.

Referensi

1. Andres, T. (2010). Tresure Olimpiade Matematika. Springer. New York.
2. Angel, A. R. (2007). Aljabar Dasar Pendidikan Pearson,.
3. Baer, ​​R. (2012). Aljabar Linier dan Geometri Proyektif. Perusahaan Kurir.
4. Baldor, A. (1941). Aljabar Havana: Budaya.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematika sebelum perhitungan. Universitas Medellín.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Manual matematika untuk persiapan Olimpiade. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Aljabar Superior I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematika 3.