3 Sistem Persamaan Linier dan Cara Memecahkannya

itu persamaan linear mereka adalah persamaan polinomial dengan satu atau beberapa yang tidak diketahui. Dalam hal ini, yang tidak diketahui tidak dinaikkan ke kekuasaan, juga tidak dikalikan di antara mereka sendiri (dalam hal ini dikatakan bahwa persamaannya adalah derajat 1 atau tingkat pertama).

Persamaan adalah persamaan matematis di mana ada satu atau lebih elemen yang tidak dikenal yang akan kita sebut tidak dikenal atau tidak dikenal jika ada lebih dari satu. Untuk menyelesaikan persamaan ini perlu untuk mengetahui nilai dari yang tidak diketahui.

Persamaan linear memiliki struktur sebagai berikut:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Kemana?₀, a₁, a₂,..., a_n adalah bilangan real yang kita ketahui nilainya dan disebut koefisien, b juga bilangan real yang dikenal yang disebut istilah bebas. Dan akhirnya mereka adalah X₁, X_2,..., X_n yang dikenal sebagai tidak diketahui. Ini adalah variabel yang nilainya tidak diketahui.

Suatu sistem persamaan linear adalah seperangkat persamaan linear di mana nilai yang tidak diketahui adalah sama di setiap persamaan.

Secara logis, cara untuk memecahkan sistem persamaan linear adalah memberikan nilai pada yang tidak diketahui, sehingga kesetaraan dapat diverifikasi. Artinya, yang tidak diketahui harus dihitung sehingga semua persamaan sistem terpenuhi secara bersamaan. Kami mewakili sistem persamaan linear sebagai berikut

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n +1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n +1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n +1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n +1}

 dimana a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n dll kita bilangan real dan yang tidak diketahui untuk diselesaikan adalah X₀,..., X_n ,X_{n +1}.

Setiap persamaan linier merepresentasikan garis dan oleh karena itu sistem persamaan dari persamaan linear N mewakili garis lurus yang ditarik dalam ruang.

Bergantung pada jumlah tidak diketahui yang dimiliki oleh setiap persamaan linear, garis yang mewakili persamaan tersebut akan diwakili dalam dimensi yang berbeda, yaitu persamaan dengan dua tidak diketahui (misalnya, 2 · X₁ + X₂ = 0) mewakili garis dalam ruang dua dimensi, persamaan dengan tiga tidak diketahui (misalnya 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) akan direpresentasikan dalam ruang tiga dimensi dan seterusnya.

Saat memecahkan sistem persamaan, nilai-nilai X₀,..., X_n ,X_{n +1} kebetulan menjadi titik potong di antara garis.

Dengan memecahkan sistem persamaan kita dapat mencapai kesimpulan yang berbeda. Bergantung pada jenis hasil yang kita peroleh, kita dapat membedakan antara 3 jenis sistem persamaan linear:

1- kompatibilitas tidak pasti

Meskipun mungkin terdengar seperti lelucon, ada kemungkinan bahwa ketika mencoba memecahkan sistem persamaan, kita akan sampai pada kejelasan gaya 0 = 0.

Jenis situasi ini terjadi ketika ada solusi tak terbatas untuk sistem persamaan, dan ini terjadi ketika ternyata bahwa dalam sistem persamaan kami persamaan mewakili garis yang sama. Kita bisa melihatnya secara grafis:

Sebagai sistem persamaan yang kami ambil:

Dengan memiliki 2 persamaan dengan 2 yang tidak diketahui untuk dipecahkan, kita dapat mewakili garis-garis dalam bidang dua dimensi

Seperti yang dapat kita lihat garis-garisnya dengan yang sama, maka semua titik persamaan pertama bertepatan dengan persamaan persamaan kedua, oleh karena itu ia memiliki banyak titik potong seperti halnya titik-titik yang dimiliki garis, yaitu, jumlah tak terbatas.

2- Tidak kompatibel

Saat membaca namanya, kita dapat membayangkan bahwa sistem persamaan kita selanjutnya tidak akan memiliki solusi.

Jika kita mencoba memecahkan, misalnya, sistem persamaan ini

Secara grafis akan menjadi:

Jika kita mengalikan semua syarat dari persamaan kedua, kita memperoleh bahwa X + Y = 1 sama dengan 2 · X + 2 · Y = 2. Dan jika ungkapan terakhir ini dikurangkan dari persamaan pertama, kita dapatkan

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Atau apa yang sama

0 = 1

Ketika kita berada dalam situasi ini, itu berarti bahwa garis-garis yang diwakili dalam sistem persamaan adalah paralel, yang berarti bahwa menurut definisi, mereka tidak pernah dipotong dan tidak ada titik potong. Ketika suatu sistem disajikan dengan cara ini dikatakan tidak independen.

3- Dukungan yang ditentukan

Akhirnya kita sampai pada kasus di mana sistem persamaan kita memiliki solusi tunggal, kasus di mana kita memiliki garis yang memotong dan menghasilkan titik persimpangan. Mari kita lihat sebuah contoh:

Untuk menyelesaikannya kita bisa menambahkan dua persamaan sehingga kita dapatkan

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Jika kami menyederhanakan kami telah pergi

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Dari mana kita dengan mudah menyimpulkan bahwa X = 2 dan mensubstitusi atau X = 2 dalam salah satu persamaan asli kita memperoleh Y = 3.

Secara visual akan menjadi:

Metode pemecahan sistem persamaan linear

Seperti yang telah kita lihat di bagian sebelumnya, untuk sistem dengan 2 persamaan dan 2 yang tidak diketahui, berdasarkan operasi sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penggantian, kita dapat menyelesaikannya dalam hitungan menit. Tetapi jika kita mencoba menerapkan metodologi ini ke sistem dengan lebih banyak persamaan dan lebih tidak diketahui, perhitungan menjadi membosankan dan kita dapat dengan mudah melakukan kesalahan..

Untuk menyederhanakan perhitungan ada beberapa metode penyelesaian, tetapi tidak diragukan lagi metode yang paling luas adalah Aturan Cramer dan Penghapusan Gauss-Jordan..

Metode Cramer

Untuk menjelaskan bagaimana metode ini diterapkan, penting untuk mengetahui apa matriksnya dan mengetahui bagaimana menemukan determinannya, mari kita membuat kurung untuk mendefinisikan dua konsep.

Satu matriks itu tidak lebih dari satu set angka atau simbol aljabar yang ditempatkan pada garis horizontal dan vertikal dan disusun dalam bentuk persegi panjang. Untuk tema kita, kita akan menggunakan matriks sebagai cara yang lebih sederhana untuk mengekspresikan sistem persamaan kita.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Ini akan menjadi sistem persamaan linear

Sistem persamaan sederhana yang dapat kita simpulkan ini adalah operasi dua matriks 2 × 2 yang menghasilkan matriks 2 × 1.

Matriks pertama sesuai dengan semua koefisien, matriks kedua adalah tidak diketahui untuk dipecahkan dan matriks terletak setelah kesetaraan diidentifikasi dengan syarat-syarat persamaan yang independen.

itu penentu adalah operasi yang diterapkan ke matriks yang hasilnya adalah bilangan real.

Dalam kasus matriks yang telah kami temukan dalam contoh kami sebelumnya, determinannya adalah:

Setelah konsep matriks dan determinan telah didefinisikan, kita dapat menjelaskan apa yang terdiri dari metode Cramer.

Dengan metode ini, kita dapat dengan mudah menyelesaikan sistem persamaan linear selama sistem tidak melebihi tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui karena perhitungan faktor penentu matriks sangat sulit untuk matriks 4 × 4 atau lebih tinggi. Dalam hal memiliki sistem dengan lebih dari tiga persamaan linier, metode dengan menghilangkan Gauss-Jordan direkomendasikan.

Melanjutkan dengan contoh sebelumnya, dengan menggunakan Cramer kita hanya perlu menghitung dua determinan dan dengan itu kita akan menemukan nilai dari dua yang tidak diketahui kita.

Kami memiliki sistem kami:

Dan kami memiliki sistem yang diwakili oleh matriks:

Nilai X ditemukan:

Cukup dalam perhitungan penentu yang terletak di penyebut divisi, kami telah mengganti komune pertama untuk matriks istilah independen. Dan dalam penyebut divisi kita memiliki determinan dari matriks asli kita.

Melakukan perhitungan yang sama untuk menemukan Y yang kita peroleh:

Eliminasi Gauss-Jordan

Kami mendefinisikan matriks diperpanjang ke matriks yang dihasilkan dari sistem persamaan di mana kami menambahkan istilah independen di akhir matriks.

Metode dengan menghilangkan Gauss-Jordan terdiri, dengan cara operasi antara baris-baris matriks, untuk mengubah matriks diperpanjang kami menjadi matriks yang jauh lebih sederhana di mana saya memiliki nol di semua bidang kecuali di diagonal, di mana saya harus mendapatkan beberapa. Sebagai berikut:

Di mana X dan Y akan menjadi bilangan real yang sesuai dengan yang tidak diketahui kita.

Mari kita selesaikan sistem ini dengan menghilangkan Gauss-Jordan:

Kami telah berhasil mendapatkan nol di bagian kiri bawah dari matriks kami, langkah selanjutnya adalah mendapatkan 0 di bagian kanan atas.

Kami telah mencapai 0 di kiri atas matriks, sekarang kami hanya perlu mengubah diagonal menjadi yang dan kami telah menyelesaikan sistem kami oleh Gauss-Jordan.

Karena itu kami sampai pada kesimpulan bahwa:

Referensi

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sistem persamaan linear (tanpa tanggal). Dipulihkan dari uco.es.
4. Sistem persamaan linear. Bab 7. (tidak bertanggal). Diperoleh dari sauce.pntic.mec.es.
5. Aljabar Linier dan Geometri (2010/2011). Sistem persamaan linear. Bab 1. Departemen Aljabar. Universitas Seville. Spanyol Dipulihkan dari algebra.us.es.